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Agrégation externe 2022 — Mathématiques générales

Racines carrées de matrices, matrices unipotentes et représentations du groupe de Heisenberg · 12 pages

Quatre exercices préparent le problème : dénombrement des classes de similitude des racines carrées de matrices complexes à l'aide de la réduction de Jordan, bijectivité de $U \mapsto U^2$ sur les matrices unipotentes en caractéristique différente de 2, construction des corps finis $\mathbb{F}_q$ comme points fixes du Frobenius, et caractérisation des $p$ -groupes finis comme sous-groupes de matrices unipotentes de $\mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_p)$ . Le problème étudie le groupe de Heisenberg $\mathcal{H}_3(\mathbb{F})$ des matrices unipotentes triangulaires supérieures de taille 3, son centre, son groupe dérivé et ses caractères, l'algèbre de convolution $\mathbb{C}[G]$ et les représentations distinguées pour une involution d'un groupe d'ordre impair, puis classe les représentations irréductibles de $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_q)$ et montre que celles de $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_{q^2})$ distinguées par $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_q)$ sont en bijection avec les irréductibles de $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_q)$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Exercice 1 — Racines carrées de matrices complexes p. 2–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Réduction des endomorphismes · Diagonalisation · Matrices par blocs · Partitions et nombres combinatoires — racine carrée d'une matrice, classes de similitude, réduction de Jordan, matrice de Jordan nilpotente, carré de $J_n$

Exercice 2 — Matrices nilpotentes et unipotentes p. 4–5

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Groupes de matrices · Réduction des endomorphismes — indice de nilpotence, polynôme minimal, matrice unipotente, décomposition de Dunford, surjectivité de $P \mapsto P^2$ sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$

Exercice 3 — Corps finis et morphisme de Frobenius p. 5–6

Corps finis · Corps et extensions · Racines et relations coefficients-racines — morphisme de Frobenius, caractéristique $p$ , corps algébriquement clos, unicité du sous-corps à $q$ éléments, $\mathbb{F}_q$ inclus dans $\mathbb{F}_{q^2}$

Exercice 4 — $p$ -groupes et matrices unipotentes p. 6

Groupes · Groupes de matrices · Groupe symétrique · Nilpotents, Jordan, Dunford · Groupes cycliques et ordre · Actions de groupes — $p$ -groupe, théorème de Cauchy, théorème de Cayley, matrices de permutation, matrices unipotentes sur $\mathbb{F}_p$

Problème, Partie I — Groupe de Heisenberg p. 7–8

Groupes · Groupes de matrices · Corps finis · Représentations des groupes finis · Groupes cycliques et ordre — groupe de Heisenberg, centre, sous-groupe dérivé, commutateur, abélianisé, groupe dual, ordre des éléments

Problème, Parties II et III — Involutions d'un groupe d'ordre impair, algèbre de convolution p. 9

Groupes · Représentations des groupes finis · Algèbres et sous-algèbres · Actions de groupes — automorphisme involutif, groupe d'ordre impair, application $x \mapsto x^2$ , doubles classes, produit de convolution, algèbre de groupe $\mathbb{C}$ de $G$

Problème, Partie IV — Représentations distinguées p. 10

Représentations des groupes finis · Sous-espaces stables · Algèbres et sous-algèbres — représentation irréductible, représentation distinguée, vecteurs invariants, paire de Gelfand, endomorphismes qui commutent, lemme de Schur

Problème, Parties V et VI — Représentations irréductibles de $\mathcal{H}_3(\mathbb{F}_q)$ et distinction p. 10–11

Représentations des groupes finis · Corps finis · Groupes · Sous-espaces stables — représentation de Schrödinger, caractères additifs, orthogonalité des caractères, classification des représentations irréductibles, représentations distinguées, groupe de Heisenberg