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Agrégation externe 2025 — Mathématiques générales

Corps différentiels et théorème de Liouville sur les primitives élémentaires · 16 pages

Après une étude des extensions de corps (éléments algébriques, polynôme minimal, trace et norme via la matrice compagnon), le sujet introduit les dérivations sur un corps et leur prolongement aux extensions finies. Il démontre ensuite le théorème de Liouville : une fonction admettant une primitive élémentaire est une somme de Liouville, ce qui prouve que des fonctions comme $e^{T^n}$ ou $e^T/T$ n'ont pas de primitive élémentaire.

Le sujet, partie par partie

Exercice — Le corps $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ p. 2–3

Corps et extensions · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes — irréductibilité de $X^3-2$ , racine cubique de 2, matrice de la multiplication, polynôme caractéristique, polynôme minimal

Partie I — Extensions de corps, trace et norme p. 4–5

Corps et extensions · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices remarquables · Matrices par blocs · Polynômes · Corps finis — extension de corps, élément algébrique, élément transcendant, polynôme minimal, matrice compagnon, trace et norme d'une extension, multiplicativité des degrés

Partie II — Corps différentiels, construction et prolongement de dérivations p. 6–9

Corps et extensions · Anneaux et idéaux · Corps finis · Polynômes · Fractions rationnelles — dérivation, corps différentiel, dérivée logarithmique, prolongement d'une dérivation, corps des fractions, corps fini $\mathbb{F}_4$ , extension différentielle

Partie III.1-III.2 — Transcendance des exponentielles et logarithmes, primitives élémentaires p. 10–12

Corps et extensions · Fractions rationnelles · Intégrale sur un segment — exponentielle transcendante, logarithme, primitive élémentaire, extension élémentaire, somme de Liouville, décomposition en éléments simples

Partie III.3 — Le lemme principal pour les extensions finies p. 12–13

Théorie de Galois · Corps et extensions · Polynômes — corps de décomposition, automorphismes de corps, trace et norme, fractions rationnelles symétriques, prolongement de morphismes

Partie III.4-III.5 — Extensions logarithmiques et exponentielles, applications p. 13–15

Fractions rationnelles · Corps et extensions · Intégrale sur un segment — théorème de Liouville, intégration en termes finis, primitives non élémentaires, primitive de $\exp(T^n)$ , primitive de $\exp(T)/T$ , décomposition en éléments simples

Dans l'édifice

Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Déterminant d'un endomorphisme Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Corps finis Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Corps des fractions d'un anneau intègre Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Extensions galoisiennes La correspondance de Galois Le théorème de Galois sur les radicaux