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Agrégation interne 2024 — Épreuve 1

Représentations des groupes finis : théorèmes de Maschke et de Kronecker · 13 pages

Le problème introduit les représentations linéaires complexes d'un groupe fini, homomorphismes de $G$ dans $\mathrm{GL}(E)$ , et démontre le lemme de Schur puis le théorème de Maschke, par moyennisation d'un projecteur sur le groupe. Dans le cas abélien, les représentations irréductibles sont de dimension 1 et s'identifient aux caractères, ce qui mène au prolongement des caractères, à l'égalité entre l'ordre de $G$ et celui de son dual, puis à la décomposition de Kronecker $G \cong \mathbb{Z}/N_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/N_k\mathbb{Z}$ . La dernière partie établit les relations d'orthogonalité des caractères pour le produit hermitien sur les fonctions centrales.

Le sujet, partie par partie

Première partie — Exercices préliminaires (réduction, codiagonalisation, exposant d'un groupe abélien) p. 5–7

Diagonalisation · Groupes cycliques et ordre · Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Arithmétique des entiers — lemme des noyaux, polynôme minimal scindé à racines simples, codiagonalisation, endomorphismes qui commutent, ordre d'un élément, exposant d'un groupe abélien fini

Deuxième partie — Définition et exemples p. 7–9

Représentations des groupes finis · Sous-espaces stables · Groupe symétrique · Diagonalisation · Groupes — représentation linéaire d'un groupe, sous-espace invariant, représentation irréductible, lemme de Schur, représentation de $\mathfrak{S}_3$ , homomorphisme de représentations

Troisième partie — Théorème de Maschke p. 9

Représentations des groupes finis · Sous-espaces stables · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang — théorème de Maschke, projecteur moyennisé, supplémentaire stable, récurrence sur la dimension

Quatrième partie — Le cas des groupes abéliens finis p. 10

Représentations des groupes finis · Diagonalisation · Groupes cycliques et ordre · Nombres complexes — caractères d'un groupe abélien, groupe dual, racines de l'unité, groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , vecteur propre commun

Cinquième partie — Prolongement des caractères et théorème de Kronecker p. 10–11

Groupes cycliques et ordre · Groupes · Représentations des groupes finis · Arithmétique des entiers — prolongement des caractères, groupe quotient, théorème de Kronecker, facteurs invariants, groupe abélien fini, décomposition de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$

Sixième partie — Applications centrales p. 12–13

Représentations des groupes finis · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Diagonalisation · Actions de groupes · Espaces vectoriels et dimension — fonctions centrales, classes de conjugaison, caractère d'une représentation, relations d'orthogonalité, produit hermitien, nombre de représentations irréductibles