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Agrégation interne 2025 — Épreuve 1

Matrices d'ordre fini et sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2$ · 12 pages

Le sujet étudie les matrices $A$ vérifiant $A^n = I$ sur $\mathbb{C}$ , $\mathbb{R}$ et $\mathbb{Q}$ . Il établit la décomposition de $X^n - 1$ en polynômes cyclotomiques et la décomposition de Frobenius des endomorphismes à polynôme minimal sans facteur carré, puis en déduit les formes réduites des matrices d'ordre fini, la classification des sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ (cycliques ou diédraux) et de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})$ . Il se termine par le dénombrement des matrices de chaque ordre dans $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice préliminaire 1 — Polynôme minimal p. 5

Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — polynôme minimal, morphisme d'algèbres, algèbre des polynômes en $u$ , théorème de Cayley-Hamilton

Exercice préliminaire 2 — Indicatrice d'Euler p. 6

Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Arithmétique des entiers — indicatrice d'Euler, éléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , multiplicativité

Première partie — Décomposition de $X^n - 1$ en produit d'irréductibles p. 6–7

Polynômes cyclotomiques · Nombres complexes · Polynômes · Groupes cycliques et ordre · PGCD, Bézout, Gauss · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — racines de l'unité, racines primitives de l'unité, polynômes cyclotomiques, factorisation de $X^n - 1$ , division euclidienne à coefficients entiers

Deuxième partie — Un lemme sur les matrices d'ordre fini p. 7

Diagonalisation · Polynômes cyclotomiques — matrice d'ordre fini, diagonalisabilité, valeurs propres racines de l'unité, polynôme minimal sans facteur carré

Troisième partie — Endomorphismes cycliques et décomposition de Frobenius p. 7–8

Polynômes d'endomorphismes · Réduction des endomorphismes · Sous-espaces stables · Matrices remarquables · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices par blocs — endomorphisme cyclique, matrice compagnon, décomposition de Frobenius, lemme des noyaux, commutant, polynôme minimal ponctuel

Quatrième partie — Matrices complexes ou réelles d'ordre fini p. 8–10

Groupes de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Diagonalisation · Groupes cycliques et ordre · Espaces préhilbertiens et euclidiens — matrices d'ordre fini, matrices de rotation, groupe diédral, sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ , produit scalaire invariant, groupe cyclique

Cinquième partie — Matrices rationnelles d'ordre fini p. 10–11

Groupes de matrices · Polynômes cyclotomiques · Réduction des endomorphismes · Groupes cycliques et ordre · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — matrices rationnelles d'ordre fini, matrice compagnon d'un cyclotomique, sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})$ , ordre maximal, indicatrice d'Euler

Sixième partie — Matrices d'ordre fini dans $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ p. 11–12

Groupes de matrices · Corps finis · Actions de groupes · Dénombrement et combinatoire · Congruences et Z/nZ — $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ , action par conjugaison, stabilisateur, classes de similitude, formule orbite-stabilisateur, dénombrement des matrices d'ordre donné