AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2016 — Session normale, 20 juin 2016

Probabilités conditionnelles, lois binomiale et exponentielle, fluctuation, cercle et droite dans le plan complexe, position relative de deux courbes exponentielles, section d'un cube ou équation diophantienne et puissances d'une matrice · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite des ampoules par un arbre pondéré, une loi binomiale, une loi exponentielle dont on démontre l'absence de mémoire et un intervalle de fluctuation pour éprouver une affirmation. Le deuxième détermine, selon le réel $a$ , le nombre de points communs au cercle $|z - 2| = 1$ et à la droite $y = ax$ . Le troisième étudie $f(x) = x\mathrm{e}^{1-x^2}$ , montre à l'aide de $\Phi(x) = \ln x - x^2 + x$ que sa courbe reste sous celle de $\mathrm{e}^{1-x}$ en les touchant en un seul point avec la même tangente, puis calcule une aire. Au choix, les non-spécialistes étudient la section hexagonale d'un cube par un plan parallèle à $(BGE)$ , et les spécialistes résolvent $7x - 3y = 1$ puis montrent par diagonalisation d'une matrice que des points définis par récurrence restent sur la droite $7x - 3y - 1 = 0$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, loi binomiale, loi exponentielle sans vieillissement et intervalle de fluctuation p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi exponentielle · Statistique : estimation et tests · Intégrale sur un segment — arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale, $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + a) = P(T \geqslant a)$ , espérance d'une loi exponentielle, intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 2 — Cercle $|z - 2| = 1$ et droite $y = ax$ : nombre de points d'intersection p. 2

Nombres complexes · Second degré — $|z - 2| = 1$ , cercle, $y = ax$ , discriminant, discussion selon un paramètre

Exercice 3 — Fonction $x\mathrm{e}^{1-x^2}$ : variations, position relative de deux courbes, tangente commune et aire p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x\mathrm{e}^{1-x^2}$ , $g(x) = \mathrm{e}^{1-x}$ , position relative de deux courbes, $\Phi(x) = \ln x - x^2 + x$ , tangente commune, $\int_0^1 (\mathrm{e}^{1-x} - x\mathrm{e}^{1-x^2})\,\mathrm{d}x$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Section hexagonale d'un cube, plan parallèle et volume d'un tétraèdre p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, plans parallèles, équation cartésienne d'un plan, section d'un cube, intersection d'une droite et d'un plan, volume d'un tétraèdre

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne et suite de points par diagonalisation d'une matrice p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Diagonalisation · Informatique et algorithmique · Suites numériques — $7x - 3y = 1$ , équation diophantienne, $X_{n+1} = MX_n$ , $P^{-1}MP = D$ , $M^n = PD^nP^{-1}$ , raisonnement par récurrence, points sur une droite