AnnalesBaccalauréat

Bac Antilles-Guyane Terminale 2017 — Session normale, 16 juin 2017

Équation complexe du quatrième degré et losange, loi normale et prise de décision, tangentes aux courbes exponentielles, suites de solutions d'une équation logarithmique, arithmétique d'une suite ou géométrie dans l'espace · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice résout $z^4 + 2z^3 - z - 2 = 0$ par factorisation et se demande si les quatre points obtenus forment un losange. Le deuxième exercice traite l'épaisseur d'un dépôt de nickel par une loi normale, compare deux écarts-types puis teste une affirmation au seuil de 95 %, et le troisième démontre que les tangentes aux courbes de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ et de $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ en des points de même abscisse sont perpendiculaires, puis démontre la conjecture tirée d'un tableur sur la longueur $PQ$ . Le quatrième exercice étudie $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ et les solutions $\alpha_n$ et $\beta_n$ de l'équation $\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{n}$ , établit le sens de variation et la convergence de $(\alpha_n)$ , puis la limite de $(\beta_n)$ . Au choix, les spécialistes étudient la divisibilité et le PGCD des termes de la suite $u_n = 9 \times 2^n - 6$ , et les non-spécialistes un plan, deux plans sécants et l'intersection d'une droite avec un plan de l'espace.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Équation complexe du quatrième degré par factorisation et nature d'un quadrilatère p. 1

Nombres complexes · Second degré — $z^4 + 2z^3 - z - 2 = 0$ , solution entière, factorisation, équation du second degré à coefficients réels, nature d'un quadrilatère

Exercice 2 — Nickelage : loi normale, probabilité conditionnelle et intervalle de fluctuation p. 1–2

Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance — détermination de l'écart-type, probabilité conditionnelle, comparaison d'écarts-types, intervalle de fluctuation, seuil de 95 %

Exercice 3 — Tangentes aux courbes de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ et $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ : orthogonalité et longueur constante p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité — équation de tangente, tangentes perpendiculaires, intersection avec l'axe des abscisses, conjecture à partir d'un tableur, géométrie dynamique

Exercice 4 — Solutions de $\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{n}$ : suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ , monotonie, convergence et limite p. 2–3

Fonctions exponentielle et logarithme · Suites numériques · Continuité · Dérivabilité — $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ , maximum d'une fonction, théorème des valeurs intermédiaires, suite définie implicitement, suite monotone bornée, minoration $\beta_n \geqslant n\frac{\beta_3}{3}$

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite $u_n = 9 \times 2^n - 6$ : divisibilité, nombres premiers et PGCD p. 3–4

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Suites arithmétiques et géométriques · Nombres premiers — raisonnement par récurrence, divisibilité, $v_{n+1} - 2v_n = 1$ , entiers premiers entre eux, PGCD de termes consécutifs, $2^4 \equiv 1 \pmod 5$

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Produit scalaire, angle, plans sécants et intersection d'une droite et d'un plan p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Fonctions trigonométriques — produit scalaire, mesure d'un angle, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, plans sécants, représentation paramétrique, intersection d'une droite et d'un plan

Bac Antilles-Guyane Terminale 2017 — Session normale, 16 juin 2017

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Équation complexe du quatrième degré par factorisation et nature d'un quadrilatère p. 1

Exercice 2 — Nickelage : loi normale, probabilité conditionnelle et intervalle de fluctuation p. 1–2

Exercice 3 — Tangentes aux courbes de x↦exx \mapsto \mathrm{e}^x et x↦e−xx \mapsto \mathrm{e}^{-x} : orthogonalité et longueur constante p. 2

Exercice 4 — Solutions de ln⁡(x)x=1n\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{n} : suites (αn)(\alpha_n) et (βn)(\beta_n), monotonie, convergence et limite p. 2–3

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite un=9×2n−6u_n = 9 \times 2^n - 6 : divisibilité, nombres premiers et PGCD p. 3–4

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Produit scalaire, angle, plans sécants et intersection d'une droite et d'un plan p. 4

Dans l'édifice

Exercice 3 — Tangentes aux courbes de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ et $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ : orthogonalité et longueur constante p. 2

Exercice 4 — Solutions de $\frac{\ln(x)}{x} = \frac{1}{n}$ : suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ , monotonie, convergence et limite p. 2–3

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite $u_n = 9 \times 2^n - 6$ : divisibilité, nombres premiers et PGCD p. 3–4