AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2019 — Session normale, 20 juin 2019

Loi de refroidissement par une suite et une équation différentielle, QCM de géométrie dans l'espace, probabilités conditionnelles, fluctuation et variable à densité, équation complexe et orthogonalité ou matrices et équation de Bézout · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice modélise le refroidissement d'un café d'abord par la suite $T_{n+1} = 0{,}8T_n + 2$ , ramenée à une suite géométrique et complétée d'un algorithme de seuil, puis par l'équation $\theta' = -0{,}2(\theta - M)$ , résolue pour $M = 0$ et exploitée pour $g(t) = 10 + 70\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ . Le deuxième exercice est un QCM de géométrie dans l'espace (position relative d'une droite et d'un plan, section d'un cube, distance d'un point à une droite, position relative de deux plans), et le troisième combine probabilités conditionnelles, intervalle de fluctuation et la densité $f(x) = \frac{2}{(x - 2)^2}$ sur $[3, 4]$ , dont on calcule une probabilité et l'espérance. Au choix, les non-spécialistes résolvent une équation de degré 3 dans $\mathbb{C}$ et démontrent qu'un triangle est rectangle par un critère d'orthogonalité, et les spécialistes étudient les bases de l'ensemble des matrices colonnes à deux lignes et à coefficients entiers à l'aide de l'équation $11x + 6y = 1$ et de l'inverse d'une matrice.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Loi de refroidissement de Newton : suite arithmético-géométrique et équation différentielle p. 1–2

Suites arithmétiques et géométriques · Équations différentielles linéaires · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique · Continuité — $T_{n+1} = 0{,}8T_n + 2$ , $T_n = 70 \times 0{,}8^n + 10$ , algorithme de seuil, $\theta'(t) = -0{,}2(\theta(t) - M)$ , $g(t) = 10 + 70\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ , théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 2 — QCM de géométrie dans l'espace : droites, plans et section d'un cube p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — QCM, position relative d'une droite et d'un plan, section d'un cube, plan $(IJK)$ , distance minimale d'un point à une droite, position relative de deux plans

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles, intervalle de fluctuation et loi à densité p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Statistique : estimation et tests · Variables à densité · Intégrale sur un segment · Espérance, variance, moments — $P(F \cap B) = 0{,}506$ , $P_H(\overline{B})$ , intervalle de fluctuation, $f(x) = \frac{2}{(x - 2)^2}$ , fonction de densité, $G(x) = \ln(x - 2) - \frac{x}{x - 2}$ , espérance

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique — Équation de degré 3 dans $\mathbb{C}$ , forme exponentielle et orthogonalité p. 4–5

Nombres complexes · Second degré — équation de degré 3, factorisation, forme exponentielle, parallélogramme, vecteurs orthogonaux, imaginaire pur, triangle $AOL$ rectangle

Exercice 4 — Candidats ayant suivi la spécialité mathématique — Bases de l'ensemble des matrices colonnes entières, matrice inverse et équation de Bézout p. 5

Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss — $d(A) = u_1v_2 - u_2v_1$ , base, $11x + 6y = 1$ , équation diophantienne, matrice inverse $A^{-1}$ , matrices à coefficients entiers