AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2011 — Session normale, 16 juin 2011

Suite géométrique définie par des milieux, vrai-faux de complexes et probabilités ou d'arithmétique et similitudes, angle maximal dans un cube, fonctions exponentielles et intégrales · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice définit une suite de points par des milieux successifs et ramène la récurrence $a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$ à une suite géométrique pour obtenir la limite. Le deuxième est un vrai-faux, sur les nombres complexes, la loi exponentielle et des tirages avec remise pour les non-spécialistes, sur une équation diophantienne, une congruence, des similitudes et une section de la surface $z = 4xy$ pour les spécialistes. Le troisième cherche dans un cube la position d'un point de la diagonale qui rend maximal un angle, en se ramenant à la minimisation d'une distance. Le dernier étudie $x\mathrm{e}^{1-x}$ et $x^2\mathrm{e}^{1-x}$ , établit par intégration par parties une relation entre les intégrales $I_n$ , calcule une aire entre les courbes et se ramène à l'équation $\mathrm{e}^a = a^2 + a + 1$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Suite de milieux : récurrence d'ordre 2 et suite géométrique p. 1

Suites arithmétiques et géométriques · Suites récurrentes linéaires — milieu, $a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$ , raisonnement par récurrence, $a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 1$ , suite géométrique, limite

Exercice 2 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : nature d'un triangle et d'une transformation en complexes, loi exponentielle, tirages avec remise p. 1–2

Nombres complexes · Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance — vrai-faux, nature d'un triangle, écriture complexe d'une transformation, $(-\sqrt{3} + \mathrm{i})^{2011}$ , loi exponentielle, au moins une boule noire

Exercice 2 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux : équation diophantienne, congruences, similitudes et surface $z = 4xy$ p. 2–3

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Nombres complexes · Coniques et quadriques — vrai-faux, $2x + 11y = 7$ , $11^{2011}$ modulo 7, similitude directe, nature d'une similitude, section plane

Exercice 3 — Cube : plan médiateur et angle maximal par minimisation d'une distance p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré · Fonctions trigonométriques — cube, plan médiateur, triangle isocèle, angle maximal, $\sin\frac{\theta}{2}$ , $f(t) = 3t^2 - t + \frac{1}{4}$ , projeté orthogonal

Exercice 4 — Fonctions $x\mathrm{e}^{1-x}$ et $x^2\mathrm{e}^{1-x}$ : intégrales par récurrence, aires et équation $\mathrm{e}^a = a^2 + a + 1$ p. 4–6

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — intégration par parties, $I_{n+1} = -1 + (n+1)I_n$ , position relative, aire entre deux courbes, $A = 3 - \mathrm{e}$ , existence et unicité d'une solution