AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2018 — Session normale, 11 juin 2018

Fonction exponentielle, seuil et valeur moyenne, vrai-faux (lois exponentielle et binomiale, logarithme, complexes), loi normale et fluctuation puis suite de probabilités, section d'un cube ou chiffrement RSA · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie le taux de dioxyde de carbone $f(t) = (0{,}8t + 0{,}2)\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 0{,}03$ : valeurs, unicité d'un instant par le théorème des valeurs intermédiaires, algorithme de seuil et valeur moyenne à l'aide d'une primitive. Le deuxième est un vrai-faux sur une loi exponentielle, une loi binomiale, l'équation $\ln(6x - 2) + \ln(2x - 1) = \ln(x)$ et une équation complexe dont on se demande si les solutions sont les affixes de points d'un même cercle de centre le point d'affixe $2$ . Le troisième détermine les paramètres d'une loi uniforme et d'une loi normale, mène un test par intervalle de fluctuation, puis établit à l'aide d'un arbre la relation $p_{n+1} = 0{,}5p_n + 0{,}4$ et en déduit $p_n = 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}5^{n-1}$ . Au choix, les non-spécialistes construisent la section d'un cube par le plan $(IJK)$ et étudient un projeté orthogonal, et les spécialistes mettent en œuvre le chiffrement RSA avec $N = 55$ et $c = 23$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Fonction $f(t) = (0{,}8t + 0{,}2)\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 0{,}03$ : maximum, instant seuil, algorithme et valeur moyenne p. 1

Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Intégrale sur un segment · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — $f(t) = (0{,}8t + 0{,}2)\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 0{,}03$ , tableau de variations, théorème des valeurs intermédiaires, algorithme de seuil, primitive $F(t) = (-1{,}6t - 3{,}6)\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 0{,}03t$ , valeur moyenne, hotte aspirante

Exercice II — Vrai-faux : loi exponentielle, loi binomiale, équation logarithmique et équation dans les complexes p. 2

Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Fonctions exponentielle et logarithme · Nombres complexes — vrai-faux, $P(X \leqslant t) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}$ , durée de vie sans vieillissement, dépistages d'alcoolémie, $\ln(6x - 2) + \ln(2x - 1) = \ln(x)$ , $(4z^2 - 20z + 37)(2z - 7 + 2\mathrm{i}) = 0$ , appartenance de points à un cercle

Exercice III — Loi uniforme, loi normale et intervalle de fluctuation, puis arbre pondéré et suite arithmético-géométrique p. 2–3

Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Probabilités totales et formule de Bayes — loi uniforme sur $[850, x]$ , détermination de l'écart-type $\sigma$ , intervalle de fluctuation asymptotique, arbre pondéré, $p_{n+1} = 0{,}5p_n + 0{,}4$ , $p_n = 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}5^{n-1}$ , raisonnement par récurrence

Exercice IV — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique — Section d'un cube par le plan $(IJK)$ et projeté orthogonal p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , construction d'une section, vecteur normal, plan $(IJK) : 4x - 6y - 4z + 3 = 0$ , représentation paramétrique de $(CG)$ , projeté orthogonal, intérieur du cube

Exercice V — Candidats ayant suivi la spécialité mathématique — Chiffrement RSA : puissances modulo $55$ , équation $23x - 40y = 1$ et inverse modulaire p. 5–6

Cryptographie · PGCD, Bézout, Gauss — système RSA, $8^7 \equiv 2 \pmod{55}$ , $23x - 40y = 1$ , théorème de Bézout, inverse de $23$ modulo $40$ , clé publique, décryptage

Bac Centres étrangers Terminale 2018 — Session normale, 11 juin 2018

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Fonction f(t)=(0,8t+0,2)e−0,5t+0,03f(t) = (0{,}8t + 0{,}2)\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 0{,}03 : maximum, instant seuil, algorithme et valeur moyenne p. 1

Exercice II — Vrai-faux : loi exponentielle, loi binomiale, équation logarithmique et équation dans les complexes p. 2

Exercice III — Loi uniforme, loi normale et intervalle de fluctuation, puis arbre pondéré et suite arithmético-géométrique p. 2–3

Exercice IV — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique — Section d'un cube par le plan (IJK)(IJK) et projeté orthogonal p. 4

Exercice V — Candidats ayant suivi la spécialité mathématique — Chiffrement RSA : puissances modulo 5555, équation 23x−40y=123x - 40y = 1 et inverse modulaire p. 5–6

Dans l'édifice

Exercice I — Fonction $f(t) = (0{,}8t + 0{,}2)\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 0{,}03$ : maximum, instant seuil, algorithme et valeur moyenne p. 1

Exercice IV — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité mathématique — Section d'un cube par le plan $(IJK)$ et projeté orthogonal p. 4

Exercice V — Candidats ayant suivi la spécialité mathématique — Chiffrement RSA : puissances modulo $55$ , équation $23x - 40y = 1$ et inverse modulaire p. 5–6