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AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2014 — Session normale, 19 juin 2014

Suite d'intégrales et fonction exponentielle, test de dépistage et loi normale, équation complexe du quatrième degré, géométrie dans l'espace ou suites de matrices · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la fonction x↦x+e−xx \mapsto x + \mathrm{e}^{-x}, puis fait conjecturer à partir des courbes puis démontrer la monotonie et la convergence de la suite d'intégrales In=∫01(x+e−nx) dxI_n = \int_0^1 (x + \mathrm{e}^{-nx})\,\mathrm{d}x, dont on calcule enfin l'expression et la limite. Le deuxième exercice traite un test de dépistage par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle, puis la masse de comprimés modélisée par une loi normale et un contrôle par intervalle de fluctuation asymptotique. Le troisième exercice résout l'équation z4+4z2+16=0z^4 + 4z^2 + 16 = 0 par changement d'inconnue, avec une restitution organisée de connaissances sur le conjugué. Au choix, les non-spécialistes cherchent dans un tétraèdre trirectangle la position d'un point de la droite (DF) qui maximise un angle, et les spécialistes étudient deux bassins de pisciculture par la relation matricielle Xn+1=AXn+BX_{n+1} = AX_n + B et un algorithme.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction exponentielle et suite d'intégrales : monotonie et limite p. 1–2

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — suite d'intégrales, In=∫01(x+e−nx) dxI_n = \int_0^1 (x + \mathrm{e}^{-nx})\,\mathrm{d}x, interprétation graphique d'une intégrale, conjecture graphique, suite monotone bornée, tableau de variation

Exercice 2 — Test de dépistage par arbre pondéré, loi normale et intervalle de fluctuation p. 2–3

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests — arbre pondéré, test de dépistage, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi normale 𝒩(900,72)\mathcal{N}(900, 7^2), intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 3 — Équation complexe bicarrée, forme exponentielle et conjugué (ROC) p. 3–4

Nombres complexes · Second degré — z4+4z2+16=0z^4 + 4z^2 + 16 = 0, équation du second degré à coefficients réels, forme exponentielle, racines carrées d'un complexe, conjugué d'un produit, restitution organisée de connaissances

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Tétraèdre trirectangle : plan orthogonal à une droite, projeté et angle maximal p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace · Fonctions trigonométriques · Second degré — représentation paramétrique, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, angle droit, triangle isocèle, minimum d'un trinôme

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suites de matrices Xn+1=AXn+BX_{n+1} = AX_n + B et algorithme p. 5–6

Calcul matriciel · Suites numériques · Informatique et algorithmique — suite de matrices colonnes, Xn+1=AXn+BX_{n+1} = AX_n + B, état stable, puissances d'une matrice, termes de rangs pairs et impairs, algorithme de seuil

Dans l'édifice

Intégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyseSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝExponentielle et logarithmeDérivabilitéLimite d'une fonction en un pointIndépendance d'événements et de tribusLa loi normaleEspérance, variance et inégalitésLoi faible des grands nombres et théorème de WeierstrassConjugaison et moduleRacines carrées et équations du second degréLa fonction exponentielleAnneaux de polynômesEspaces vectoriels et sous-espacesFonctions trigonométriquesMatrices d'une application linéaireThéorème de définition par récurrence
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