AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2016 — Remplacement, 12 septembre 2016 (Métropole, La Réunion)

Formule de Bayes, loi normale et intervalle de confiance, suite complexe homographique périodique, pièces retournées au dé (suite arithmético-géométrique ou matrice de transition), fonctions exponentielles et intégrale · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite du diabète par un arbre pondéré et la formule de Bayes, de la glycémie par une loi normale dont on détermine l'écart-type, et d'une estimation par intervalle de confiance. Le deuxième exercice étudie la suite complexe $z_{n+1} = 1 - \frac{1}{z_n}$ , fait conjecturer puis démontrer une propriété de $z_{3n}$ et cherche les valeurs de $z_0$ pour lesquelles $z_0 = z_1$ . Au choix, un dé fait retourner deux pièces, ce qu'on étudie par un algorithme puis par la suite arithmético-géométrique $y_{n+1} = -\frac{1}{3}y_n + \frac{2}{3}$ , ou trois pièces, ce qu'on étudie par la matrice $M$ telle que $U_{n+1} = U_n M$ . Le dernier exercice étudie la vitesse d'un colis parachuté, donnée par $v_1(t) = 5 \times \frac{\mathrm{e}^{0{,}3t} - 1}{\mathrm{e}^{0{,}3t} + 1}$ ou par $v_2(t) = 32{,}7\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}3t}\right)$ , puis la distance parcourue comme intégrale de la vitesse.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Diabète et glycémie : formule de Bayes, loi normale et intervalle de confiance p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, détermination de l'écart-type $\sigma$ , intervalle de confiance à 95 %, taille minimale d'échantillon

Exercice 2 — Suite complexe $z_{n+1} = 1 - \frac{1}{z_n}$ : périodicité et suite constante p. 2

Nombres complexes · Suites numériques · Second degré — forme algébrique, suite périodique, conjecture puis démonstration, $z_{2016}$ , équation du second degré complexe

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Deux pièces retournées au dé : algorithme, probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique p. 2–4

Conditionnement et indépendance · Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique · Chaînes de Markov · Probabilités totales et formule de Bayes — simulation par un algorithme, arbre pondéré, probabilités totales, $y_{n+1} = -\frac{1}{3}y_n + \frac{2}{3}$ , suite géométrique auxiliaire, limite et interprétation

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Trois pièces retournées au dé : algorithme et matrice de transition p. 4–6

Chaînes de Markov · Calcul matriciel · Informatique et algorithmique · Suites numériques — arbre pondéré, matrice de transition $4 \times 4$ , $U_{n+1} = U_n M$ , $U_n = U_0 M^n$ , raisonnement par récurrence, vrai ou faux

Exercice 4 — Chute d'un colis : fonctions exponentielles, équation et distance comme intégrale de la vitesse p. 6–7

Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Dérivabilité · Continuité — sens de variation, limite en $+\infty$ , équation $v_2(t) = 30$ , $d(T) = \int_0^T v_2(t)\,\mathrm{d}t$ , $d(T) = 109\left(\mathrm{e}^{-0{,}3T} + 0{,}3T - 1\right)$ , encadrement d'une solution