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Bac Métropole Terminale 2018 — Session normale, 22 juin 2018 (Métropole, La Réunion)

Fonction exponentielle et chaînette, probabilités conditionnelles et loi binomiale, tétraèdres orthocentriques, suite géométrique complexe ou équation de Pell-Fermat et nombres puissants · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice ramène l'égalité de la largeur et de la hauteur d'un arc de chaînette à l'équation $\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 4x - 2 = 0$ , étudie la fonction associée, localise sa solution par dichotomie et l'applique à la Gateway Arch. Le deuxième utilise un arbre pondéré sur la vaccination contre la grippe, puis une loi binomiale et son approximation par la loi normale centrée réduite. Le troisième examine si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, établit que les arêtes opposées d'un tétraèdre orthocentrique sont orthogonales et l'applique à un tétraèdre donné par coordonnées. Au choix, les non-spécialistes étudient la suite $z_{n+1} = \frac{3 - \mathrm{i}\sqrt{3}}{4}z_n$ et la longueur d'une ligne brisée, et les spécialistes l'équation $x^2 - 8y^2 = 1$ à l'aide d'une matrice pour obtenir une infinité de couples d'entiers consécutifs puissants.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arc de chaînette : étude de $f(x) = \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 4x - 2$ , théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Second degré · Informatique et algorithmique — chaînette, $f(x) = \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 4x - 2$ , inconnue auxiliaire $X = \mathrm{e}^x$ , $\ln\left(2 + \sqrt{5}\right)$ , théorème des valeurs intermédiaires, algorithme de dichotomie, Gateway Arch

Exercice 2 — Arbre pondéré, loi binomiale et approximation normale p. 3–4

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, vaccination contre la grippe, loi binomiale de paramètres $40$ et $0{,}4$ , $Z = \frac{X - 1500}{30}$ , loi normale centrée réduite, approximation normale

Exercice 3 — Tétraèdres orthocentriques : hauteurs concourantes et arêtes opposées orthogonales p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — hauteur d'un tétraèdre, tétraèdre orthocentrique, plan $(ACH) : x - y + z = 0$ , droite orthogonale à un plan, arêtes opposées orthogonales, produit scalaire

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite géométrique complexe $z_{n+1} = \frac{3 - \mathrm{i}\sqrt{3}}{4}z_n$ et longueur d'une ligne brisée p. 6

Nombres complexes · Suites arithmétiques et géométriques — $\frac{3 - \mathrm{i}\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ , forme exponentielle, $z_n = 8 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{n\pi}{6}}$ , raisonnement par récurrence, ligne brisée, somme des termes d'une suite géométrique

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation de Pell-Fermat $x^2 - 8y^2 = 1$ et nombres puissants consécutifs p. 6–7

Équation de Pell-Fermat · Calcul matriciel · Arithmétique des entiers — $x^2 - 8y^2 = 1$ , $A = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , raisonnement par récurrence, infinité de solutions, nombre puissant, $n = a^2b^3$ , diviseur premier

Bac Métropole Terminale 2018 — Session normale, 22 juin 2018 (Métropole, La Réunion)

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arc de chaînette : étude de f(x)=ex+e−x−4x−2f(x) = \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 4x - 2, théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie p. 1–2

Exercice 2 — Arbre pondéré, loi binomiale et approximation normale p. 3–4

Exercice 3 — Tétraèdres orthocentriques : hauteurs concourantes et arêtes opposées orthogonales p. 4–5

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite géométrique complexe zn+1=3−i34znz_{n+1} = \frac{3 - \mathrm{i}\sqrt{3}}{4}z_n et longueur d'une ligne brisée p. 6

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation de Pell-Fermat x2−8y2=1x^2 - 8y^2 = 1 et nombres puissants consécutifs p. 6–7

Dans l'édifice

Exercice 1 — Arc de chaînette : étude de $f(x) = \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 4x - 2$ , théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie p. 1–2

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite géométrique complexe $z_{n+1} = \frac{3 - \mathrm{i}\sqrt{3}}{4}z_n$ et longueur d'une ligne brisée p. 6

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation de Pell-Fermat $x^2 - 8y^2 = 1$ et nombres puissants consécutifs p. 6–7