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AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2011 — Session normale, 10 novembre 2011

Nombres complexes et transformations, fonction logarithme et suite récurrente, loi exponentielle et loi binomiale, géométrie dans l'espace ou quadrique et arithmétique · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice résout z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0, montre que trois points sont sur un même cercle de centre DD, détermine la nature du triangle DACDAC et montre, à l'aide d'une homothétie et d'une rotation, que deux droites sont perpendiculaires. Le deuxième étudie f(x)=ln⁡(1+1x)−xf(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - x et son zéro α\alpha, puis la suite un+1=ln⁡(1+1un)u_{n+1} = \ln\left(1 + \frac{1}{u_n}\right), dont il admet la convergence et identifie la limite à α\alpha. Le troisième modélise le temps de fonctionnement d'un réseau par une loi exponentielle, puis le nombre de relevés supérieurs ou égaux à 5 heures par une loi binomiale. Le dernier détermine dans l'espace un plan, une hauteur et une médiane d'un triangle et un projeté orthogonal (non-spécialistes), ou étudie les symétries et les sections de la surface x2+y2−z2=4x^2 + y^2 - z^2 = 4 et ses points à coordonnées entières sur le plan y=5y = 5 (spécialistes).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Équation du second degré dans ℂ\mathbb{C}, triangle inscrit, homothétie et rotation p. 1

Nombres complexes · Second degré · Géométrie affine et euclidienne — z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0, conjugué, cercle, zC−3zA−3\frac{z_C - 3}{z_A - 3}, homothétie, rotation, droites perpendiculaires

Exercice 2 — Fonction ln⁡(1+1x)−x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - x et suite récurrente un+1=ln⁡(1+1un)u_{n+1} = \ln\left(1 + \frac{1}{u_n}\right) p. 1–2

Dérivabilité · Continuité · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Points fixes et suites itératives — théorème des valeurs intermédiaires, valeur approchée, suite récurrente, construction graphique des termes, conjecture, limite d'une suite récurrente

Exercice 3 — Loi exponentielle et loi binomiale : temps de fonctionnement d'un réseau informatique p. 2–3

Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments — loi exponentielle, P(X⩽7)=0,6P(X \leqslant 7) = 0{,}6, λ≈0,131\lambda \approx 0{,}131, probabilité conditionnelle, loi binomiale, espérance

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Plan, distance, hauteur et médiane d'un triangle de l'espace, projeté orthogonal p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, distance d'un point à un plan, plan orthogonal à une droite, intersection de deux plans, médiane, triangle isocèle, projeté orthogonal

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Surface x2+y2−z2=4x^2 + y^2 - z^2 = 4 : symétries, sections planes et points à coordonnées entières p. 3–6

Coniques et quadriques · Arithmétique des entiers · Géométrie vectorielle dans l'espace — quadrique, symétrie par rapport à un plan, section plane, représentation paramétrique, (x−z)(x+z)=−21(x - z)(x + z) = -21, diviseurs, points à coordonnées entières

Dans l'édifice

Conjugaison et moduleRacines carrées et équations du second degréLa fonction exponentielleAnneaux de polynômesEspaces vectoriels et sous-espacesDérivabilitéContinuitéThéorème des valeurs intermédiairesThéorème de HeineSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝExponentielle et logarithmeThéorème du point fixe de BanachThéorème du point fixe de Knaster-TarskiLois de Poisson et loi exponentielleVariables aléatoires, lois, fonctions de répartitionIndépendance d'événements et de tribusEspérance, variance et inégalitésDivision euclidiennePGCD, théorème de Bézout, lemme de GaussThéorème fondamental de l'arithmétique
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