AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2019 — Session normale, 26 novembre 2019

Arbre pondéré, loi normale et aire entre deux courbes, fonction logarithme et suite récurrente, plan et section d'un cube, nombres complexes et trigonométrie ou divisibilité d'une suite d'entiers · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice applique la formule de Bayes à des carreaux fissurés, détermine l'écart-type d'une loi normale par la variable centrée réduite et calcule l'aire du carreau délimité par la courbe de $f(x) = -1{,}5\cos(x) + 1{,}5$ et sa symétrique. Le deuxième exercice étudie $f(x) = \ln\left(\frac{3x + 1}{x + 1}\right)$ , la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ et sa limite $\ell$ , approchée grâce à $g(x) = f(x) - x$ et un algorithme de balayage ; le troisième établit l'équation $-x + 3y + 5z - 4 = 0$ du plan $(FIJ)$ , le projeté orthogonal de $B$ et un angle, puis cherche quand la section $FKLJ$ est un losange. Au choix, les non-spécialistes résolvent $25z^2 - 14z + 25 = 0$ et traitent un vrai-faux sur les complexes et la trigonométrie, et les spécialistes étudient $a_n = \frac{4^{2n+1} + 1}{5}$ : relation de récurrence, congruences modulo 3, termes consécutifs premiers entre eux et non-primalité pour $n \geqslant 2$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Formule de Bayes, loi normale centrée réduite et aire entre deux courbes p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrale sur un segment · Probabilités totales et formule de Bayes · Fonctions trigonométriques — arbre pondéré, formule de Bayes, $Z = \frac{X - 11}{\sigma}$ , loi normale centrée réduite, $f(x) = -1{,}5\cos(x) + 1{,}5$ , aire entre deux courbes

Exercice 2 — Fonction logarithme, suite récurrente et approximation d'un point fixe p. 2–4

Fonctions exponentielle et logarithme · Suites numériques · Continuité · Dérivabilité · Informatique et algorithmique — $f(x) = \ln\left(\frac{3x + 1}{x + 1}\right)$ , $f'(x) = \frac{2}{(x + 1)(3x + 1)}$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ , $g(x) = f(x) - x$ , point fixe, algorithme de balayage

Exercice 3 — Section d'un cube, vecteur normal, projeté orthogonal et losange p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — plan $(FIJ)$ , $-x + 3y + 5z - 4 = 0$ , projeté orthogonal, produit scalaire, parallélogramme, losange

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Équation du second degré dans $\mathbb{C}$ , forme exponentielle et vrai-faux trigonométrique p. 5–6

Nombres complexes · Fonctions trigonométriques · Second degré — $25z^2 - 14z + 25 = 0$ , module, forme exponentielle, $\cos\alpha = \frac{7}{25}$ , vrai-faux, $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite d'entiers, PGCD, congruences modulo 3 et non-primalité p. 6–7

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Nombres premiers · Suites numériques — $a_n = \frac{4^{2n+1} + 1}{5}$ , $a_{n+1} = 16a_n - 3$ , PGCD de termes consécutifs, congruences modulo 3, nombres premiers entre eux, $5a_n = b_nc_n$