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CAPES externe 2013 — Écrit disciplinaire appliqué

Puissances de matrices ; théorèmes de Lagrange, Wilson et Wolstenholme · 5 pages

Le premier problème établit une condition nécessaire et suffisante de convergence de la suite $(A^n)$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ : soit toutes les valeurs propres sont de module strictement inférieur à $1$ , soit $1$ est valeur propre avec $\operatorname{Ker}(u - \mathrm{Id}) \cap \operatorname{Im}(u - \mathrm{Id}) = \{0\}$ et les autres valeurs propres sont de module strictement inférieur à $1$ ; la preuve passe par la trigonalisation et un exemple $2\times 2$ diagonalisable ouvre le problème. Le second démontre le théorème de Lagrange sur la divisibilité par $p$ des coefficients de $(x + 1)\cdots(x + p - 1)$ , en déduit le théorème de Wilson et sa réciproque, puis le théorème de Wolstenholme : $p^2$ divise le numérateur de $H_{p-1}$ pour $p$ premier supérieur à $3$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — Étude d'un exemple p. 1

Diagonalisation · Calcul matriciel · Suites numériques — puissance $n$ -ième d'une matrice, matrice de passage, suites récurrentes couplées, limite d'une suite de matrices

Problème 1, Partie B — Résultats préliminaires p. 1–2

Calcul matriciel · Suites numériques · Espaces vectoriels normés — suite de matrices, limite coefficient par coefficient, produit matriciel et limite

Problème 1, Partie C — Condition nécessaire p. 2

Réduction des endomorphismes · Applications linéaires et rang · Nombres complexes — valeur propre de module $1$ , noyau et image, convergence des puissances d'une matrice

Problème 1, Partie D — Condition suffisante p. 2

Trigonalisation · Sous-espaces stables · Polynômes · Applications linéaires et rang · Rayon spectral — théorème de d'Alembert-Gauss, matrice triangulaire supérieure, sous-espaces supplémentaires stables, endomorphisme induit, récurrence

Problème 1, Partie E — Conclusion et application p. 3

Réduction des endomorphismes · Calcul matriciel · Nombres complexes · Rayon spectral — critère de convergence des puissances, spectre, valeurs propres de module inférieur à $1$

Problème 2, Partie A — Théorème de Lagrange p. 4

Coefficients binomiaux · Nombres premiers · Polynômes · Racines et relations coefficients-racines — théorème de Lagrange, divisibilité des coefficients binomiaux, binôme de Newton, polynôme produit, récurrence forte

Problème 2, Partie B — Théorème de Wilson p. 4–5

Congruences et Z/nZ · Nombres premiers · Arithmétique des entiers · Tests de primalité — théorème de Wilson, réciproque du théorème de Wilson, factorielle modulo $n$ , décomposition en facteurs premiers

Problème 2, Partie C — Théorème de Wolstenholme p. 5

Congruences et Z/nZ · Racines et relations coefficients-racines · Informatique et algorithmique · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres rationnels et décimaux — théorème de Wolstenholme, nombres harmoniques, relations coefficients-racines, algorithme, fraction irréductible