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CAPES externe 2014 — Écrit disciplinaire

Applications du plan affine conservant les droites ; équations différentielles linéaires du second ordre · 5 pages

Le premier problème démontre que les bijections du plan qui envoient toute droite sur une droite sont exactement les applications affines bijectives $X \mapsto AX + B$ , en passant par le fait que le seul endomorphisme d'anneau de $\mathbb{R}$ vérifiant $\varphi(1) = 1$ est l'identité. Le second problème établit la structure de l'espace des solutions d'une équation linéaire du second ordre et les propriétés du wronskien, détermine les $b$ pour lesquels toutes les solutions de $y'' + by = 0$ sont bornées, résout $y'' + y = f$ par une formule intégrale, puis montre que les zéros d'une solution non nulle de $y'' + b(t)y = 0$ sont isolés et qu'il y en a au plus un lorsque $b$ est strictement négative.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, partie A — Conséquences de la condition des droites et exemples p. 1

Géométrie affine · Calcul matriciel — application affine, alignement, parallélogramme, droites parallèles, repère affine

Problème 1, partie B — Endomorphisme de l'anneau $\mathbb{R}$ p. 1–2

Équations fonctionnelles · Densité · Anneaux et idéaux · Nombres rationnels et décimaux — endomorphisme d'anneau, morphisme de corps de $\mathbb{R}$ , densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ , fonction additive et multiplicative, fonction croissante

Problème 1, parties C et D — Cas particulier et cas général p. 2

Géométrie affine · Équations fonctionnelles — théorème fondamental de la géométrie affine, bijection conservant les droites, parallélogramme, repère affine, application affine

Problème 2, partie A — Généralités p. 3–4

Équations linéaires d'ordre 2 · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Espaces vectoriels et dimension — espace des solutions de dimension 2, wronskien, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, isomorphisme, solution particulière

Problème 2, partie B — Solutions bornées d'une équation à coefficients constants p. 4

Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrales à paramètre — équation $y'' + by = f$ , solutions bornées, coefficients constants, solution particulière intégrale

Problème 2, partie C — Propriétés des solutions d'une équation $y'' + b(t)y = 0$ p. 4–5

Équations linéaires d'ordre 2 · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Fonctions convexes · Compacité — zéros isolés, théorème de Bolzano-Weierstrass, fonction convexe, nombre de zéros d'une solution

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Matrices d'une application linéaire Continuité Intérieur, adhérence Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Dérivabilité Compacité