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CAPES externe 2019 — Écrit disciplinaire appliqué

Logarithmes et approximation de $\ln 2$ ; somme des cancres et suites de Farey · 9 pages

Le premier problème définit les logarithmes comme primitives de $a/x$ nulles en $1$ , en établit les propriétés (morphisme, monotonie, bijectivité), introduit le logarithme décimal avec des exercices de terminale à rédiger, puis approche $\ln(1 + x)$ par la série alternée $\sum (-1)^n x^{n+1}/(n + 1)$ , encadre le reste de la série de $\ln 2$ par comparaison avec des intégrales et compare cette méthode à celle fondée sur $(1/2) \ln((1 + x)/(1 - x))$ . Le second problème étudie la « somme des cancres » $a/b \oplus c/d = (a + c)/(b + d)$ et les suites de Farey : nombre de termes $1 + \sum \varphi(k)$ , relation $bc - ad = 1$ entre termes consécutifs et apparition de la médiante.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — Logarithme de base $a$ p. 3

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Continuité · Nombres rationnels et décimaux — logarithme népérien, primitive, propriété $f(xy) = f(x) + f(y)$ , fonction strictement croissante, bijection, limites du logarithme

Problème 1, Partie B — Logarithme décimal p. 3–4

Enseignement et didactique · Numération et écriture en base b · Suites numériques — logarithme décimal, nombre de chiffres d'un entier, partie entière, décibels, suite géométrique, rédaction pour une classe de terminale

Problème 1, Partie C — Calcul approché de valeurs du logarithme népérien p. 4–6

Séries alternées · Analyse numérique · Comparaison série-intégrale · Séries entières · Intégrale sur un segment · Équivalents et comparaison · Nombres premiers — somme géométrique, reste intégral, série alternée de $\ln 2$ , encadrement du reste, valeur approchée de $\ln 2$ et $\ln 3$ , argument tangente hyperbolique, vitesse de convergence

Problème 2, Partie A — Somme des cancres p. 7–8

Nombres rationnels et décimaux · PGCD, Bézout, Gauss · Géométrie affine et euclidienne — forme fractionnaire irréductible, médiante, PGCD, aire d'un triangle, médiane d'un triangle, vrai-faux

Problème 2, Partie B — Suites de Farey p. 8

Nombres rationnels et décimaux · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Dénombrement et combinatoire · PGCD, Bézout, Gauss — suites de Farey, indicatrice d'Euler, application injective, nombre de termes, fraction irréductible

Problème 2, Partie C — Éléments consécutifs des suites de Farey p. 9

Nombres rationnels et décimaux · PGCD, Bézout, Gauss — termes consécutifs de Farey, relation $bc - ad = 1$ , médiante, récurrence, fraction irréductible