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CAPES externe 2023 — Écrit disciplinaire

Vrai-faux et équations fonctionnelles · 11 pages

Le premier problème est un vrai-faux de vingt-cinq assertions à justifier, couvrant l'analyse, la géométrie, les matrices, les pourcentages, l'arithmétique, le dénombrement et les probabilités. Le second reconstruit le logarithme comme primitive de $1/x$ s'annulant en $1$ , résout l'équation de Cauchy $f(x+y) = f(x)+f(y)$ sous hypothèse de continuité (par densité de $\mathbb{Q}$ , puis par intégration), puis sous des hypothèses affaiblies (continuité en un point, monotonie, bornitude sur un intervalle). Il traite enfin $f(x+y) = f(x)f(y)$ , l'équation fonctionnelle de Jensen et $f(x) = f((x^2+16)/(2x))$ à l'aide d'une suite récurrente.

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Vrai-faux p. 5–7

Géométrie affine et euclidienne · Arithmétique des entiers · Espaces probabilisés · Suites numériques · Continuité · Dénombrement et combinatoire · Calcul matriciel · Équations différentielles linéaires · Informatique et algorithmique — vrai-faux, contraposée et négation, médiatrice, pourcentages d'évolution, paradoxe de Simpson, suite géométrique

Problème 2, Partie I — Dérivabilité et logarithme népérien p. 8–9

Dérivabilité · Équations fonctionnelles · Développements limités · Continuité — nombre dérivé, dérivée d'une composée, logarithme népérien, équation $g(xy) = g(x)+g(y)$

Problème 2, Parties II et III — Équation fonctionnelle de Cauchy p. 9–10

Équations fonctionnelles · Densité · Continuité · Nombres rationnels et décimaux · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — équation fonctionnelle de Cauchy, fonctions additives, densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ , fonction monotone, fonction bornée sur un intervalle

Problème 2, Partie IV — D'autres équations fonctionnelles p. 10–11

Équations fonctionnelles · Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Continuité — équation $f(x+y) = f(x)f(y)$ , équation fonctionnelle de Jensen, suite récurrente, fonction exponentielle