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CCINP MP 2011 — Maths 1

Autour de la transformation de Laplace · 4 pages

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Deux exercices calculent la somme de la série entière de terme $2x^n/(n^2 - 1)$ et sa limite en $1$ , puis résolvent l'équation $2xy' - 3y = \sqrt{x}$ sur $\left]0, +\infty\right[$ et sur $\left[0, +\infty\right[$ . Le problème étudie la transformée de Laplace d'une fonction continue sur $\mathbb{R}_+$ : linéarité, exemples, transformée d'une dérivée, caractère $\mathcal{C}^\infty$ , théorème de la valeur initiale, théorème de la valeur finale obtenu par convergence dominée, prolongement par continuité en $0$ lorsque $f$ est intégrable, et application au calcul de l'intégrale de Dirichlet $\int \sin t / t \,\mathrm{d}t = \pi/2$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Somme d'une série entière p. 1

Séries entières · Fractions rationnelles — rayon de convergence, décomposition en éléments simples, somme d'une série entière, limite au bord, logarithme

Exercice 2 — Une équation différentielle linéaire du premier ordre p. 1

Équations différentielles linéaires — équation linéaire du premier ordre, raccordement des solutions, variation de la constante, point singulier

Problème, question préliminaire et Partie I — Exemples et propriétés p. 2–3

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces vectoriels et dimension — transformée de Laplace, intégrabilité, transformée d'une dérivée, dérivation sous l'intégrale, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$

Partie II — Comportements asymptotiques de la transformée de Laplace p. 3–4

Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité — théorème de la valeur initiale, théorème de la valeur finale, convergence dominée, caractérisation séquentielle, prolongement par continuité, reste d'une intégrale

Partie III — Application : calcul de l'intégrale de Dirichlet p. 4

Fonctions spéciales · Intégrales généralisées et intégrabilité · Transformées de Fourier et de Laplace · Séries numériques — intégrale de Dirichlet, intégrale semi-convergente, non intégrabilité de $\sin t / t$ , arctangente