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CCINP MP 2011 — Maths 2

Commutant d'une matrice ; inégalités sur les déterminants de matrices symétriques · 4 pages

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L'exercice détermine le commutant d'une matrice $A$ de taille 3 semblable à une matrice triangulaire $T$ et montre qu'il est réduit aux polynômes en $A$ . Le problème établit, à partir de l'inégalité arithmético-géométrique et du théorème de réduction simultanée de deux matrices symétriques (l'une définie positive), des inégalités de déterminants : $\det(A + B) \geqslant \det A + \det B$ , la log-concavité $\det(tA + (1 - t)B) \geqslant (\det A)^t (\det B)^{1-t}$ et l'inégalité de Minkowski ; il termine par l'unicité et le calcul de la décomposition de Cholesky, un algorithme, et l'inégalité d'Hadamard.

Le sujet, partie par partie

Exercice — Commutant d'une matrice p. 2

Algèbres et sous-algèbres · Polynômes d'endomorphismes · Trigonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Espaces vectoriels et dimension — commutant, matrice semblable, matrice de passage, polynôme annulateur, polynômes en $A$ , dimension du commutant

Problème — Question préliminaire et Partie I p. 2–3

Matrices symétriques positives · Inégalité arithmético-géométrique · Théorème spectral · Déterminants — matrice symétrique positive, valeurs propres positives, inégalité arithmético-géométrique, déterminant et trace, matrice ${}^t\!M M$

Partie II — Théorème de réduction simultanée p. 3–4

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Déterminants · Fonctions convexes · Densité · Formes bilinéaires et quadratiques — réduction simultanée, matrice définie positive, inégalité de Minkowski pour les déterminants, log-concavité du déterminant, densité de $\mathcal{S}_n^{++}$ dans $\mathcal{S}_n^+$ , matrice orthogonale

Partie III — Théorème de Choleski p. 4

Matrices symétriques positives · Inégalités classiques · Procédé de Gram-Schmidt · Groupes de matrices · Analyse numérique · Informatique et algorithmique · Calcul matriciel — décomposition de Cholesky, matrices triangulaires supérieures, unicité de la décomposition, algorithme de Cholesky, inégalité d'Hadamard, matrice $\min(i, j)$