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CCINP MP 2017 — Maths 1

Calcul différentiel, familles sommables et séries trigonométriques · 4 pages

Deux exercices courts calculent la différentielle de $f \circ g$ pour $f(x, y) = \sin(x^2 - y^2)$ et $g(x, y) = (x + y, x - y)$ , puis étudient la sommabilité des familles $1/(p^2q^2)$ et $1/(p^2 + q^2)$ . Le problème étudie les séries trigonométriques : exemples, condition nécessaire et suffisante de convergence normale ( $\sum |a_n|$ et $\sum |b_n|$ convergent), identification des coefficients de Fourier de la somme, développement de $x^2$ qui donne $\zeta(2)$ et $\int_0^1 \ln(1 + x)/x \,\mathrm{d}x = \pi^2/12$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Différentielle d'une composée p. 2

Calcul différentiel — matrice jacobienne, différentielle d'une composée, règle de la chaîne

Exercice 2 — Familles sommables p. 2

Familles sommables et produit de Cauchy · Fonction zêta de Riemann — famille sommable, sommation par paquets, série double, somme des $1/n^2$

Problème, partie I — Séries trigonométriques : exemples p. 2–3

Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Nombres complexes · Séries entières — série trigonométrique, convergence normale, série géométrique complexe, $\exp(\cos x)\cos(\sin x)$

Problème, partie II — Propriétés p. 3–4

Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Fonction zêta de Riemann · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence des séries de Fourier — coefficients de Fourier, intégration terme à terme, unicité des coefficients, fonction paire, somme des $1/n^2$ , intégrale de $\ln(1+x)/x$ , dérivation terme à terme

Dans l'édifice

Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis La demi-droite achevée et les sommes positives La fonction zêta de Riemann et son prolongement Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann