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CCINP MP 2022 — Maths 1

Code d'entrée oublié ; intégrales de Fresnel · 8 pages

L'exercice étudie le nombre d'essais nécessaires pour retrouver un code à quatre chiffres, avec ou sans remise, à l'aide de la fonction génératrice de la loi géométrique, et comporte deux scripts Python. Le problème étudie $H(x) = \int_0^x \exp(it^2)\,\mathrm{d}t$ , établit la convergence de $\int_0^{+\infty} \exp(it^2)\,\mathrm{d}t$ , puis la calcule grâce à l'intégrale à paramètre $g(x) = \int \exp(-x^2(t^2 - i))/(t^2 - i)\,\mathrm{d}t$ , ce qui donne les intégrales de Fresnel ; il termine par la série $S(x) = \sum e^{inx}/n$ , définie sur $\left]0, 2\pi\right[$ par transformation d'Abel, dont il donne un équivalent en $0^+$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice — Code d'entrée d'un immeuble p. 2

Loi géométrique · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Informatique et algorithmique · Dénombrement et combinatoire — loi géométrique, fonction génératrice, loi uniforme, tirages sans remise, simulation en Python, chiffrement modulo 10

Partie I — Intégrales fonctions de leur borne p. 3

Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Intégrale sur un segment · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Informatique et algorithmique — intégrale de Fresnel, intégrale fonction de sa borne, changement de variable $u = t^2$ , intégration par parties, méthode des rectangles

Partie II — Calcul des intégrales de Fresnel p. 4

Intégrales à paramètre · Convergence dominée · Fractions rationnelles · Nombres complexes · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrales de Fresnel, intégrale de Gauss, théorème de convergence dominée, dérivation sous le signe intégral, décomposition en éléments simples

Partie III — Étude d'une série de fonctions p. 5

Séries numériques · Équivalents et comparaison · Comparaison série-intégrale · Nombres complexes · Intégrales généralisées et intégrabilité — transformation d'Abel, série $\sum e^{inx}/n$ , somme géométrique trigonométrique, équivalent en $0^+$ , critère de Dirichlet