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CCINP PC 2021 — Mathématiques

Urnes de Pólya, une équation fonctionnelle et la méthode de Héron matricielle · 8 pages

Le premier exercice montre que, dans l'urne de Pólya, chaque tirage donne une boule blanche avec probabilité $b/(b+r)$ , et que le nombre de boules blanches suit une loi uniforme lorsque $b = r = 1$ . Le deuxième établit que $f(x+1)+f(x) = 1/x^2$ avec $f$ nulle à l'infini a pour unique solution $\varphi(x) = \sum (-1)^k/(x+k)^2$ , en donne des équivalents en $0$ et en $+\infty$ et une expression intégrale. Le troisième étudie la méthode de Héron pour $\sqrt{x}$ , avec une erreur en $(1+x)/2^k$ , puis l'applique à une matrice symétrique positive pour approcher sa racine carrée.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Les urnes de Pólya p. 2–3

Processus de branchement et urnes · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Variables aléatoires et lois usuelles · Espérance, variance, moments — urne de Pólya, formule des probabilités totales, loi de Bernoulli, loi uniforme, probabilités conditionnelles, récurrence

Exercice 2 — Résolution d'une équation fonctionnelle p. 4–5

Équations fonctionnelles · Suites et séries de fonctions · Séries alternées · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité — équation fonctionnelle, critère des séries alternées, convergence uniforme, dérivation terme à terme, intégration terme à terme, équivalent

Exercice 3 — Méthode de Héron et racine carrée d'une matrice p. 6–8

Méthode de Newton · Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Suites numériques · Espaces vectoriels normés · Suites et séries de fonctions — méthode de Héron, racine carrée d'une matrice, matrice symétrique positive, norme de Frobenius, convergence simple, majoration d'erreur

Dans l'édifice

Martingales et temps d'arrêt Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Continuité Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Suites, séries et parties compactes de ℂ Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème du point fixe de Banach Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique