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CCINP PC 2022 — Mathématiques

Endomorphisme « reste modulo $B$ », séries de pile ou face et constante d'Euler · 8 pages

Le premier exercice étudie l'endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$ qui associe à $P$ le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$ , avec $\deg B = n + 1$ ; à l'aide des polynômes d'interpolation de Lagrange, il montre que si $B$ est scindé à racines simples $x_k$ , cet endomorphisme est diagonalisable de valeurs propres $A(x_k)$ . Le deuxième exercice, sur une suite de lancers d'une pièce équilibrée, étudie la longueur de la première série puis, par une récurrence et une fonction génératrice $G_n(x) = x((1 + x)/2)^{n-1}$ , la loi du nombre de séries. Le troisième définit la constante d'Euler $\gamma$ et établit $\gamma = -\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} \ln t \,\mathrm{d}t$ par convergence dominée.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Endomorphisme reste de la division euclidienne p. 2–3

Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Interpolation polynomiale · Racines et relations coefficients-racines · Calcul matriciel · Applications linéaires et rang — division euclidienne, polynômes de Lagrange, endomorphisme des polynômes de degré au plus $n$ , valeurs propres, polynôme scindé à racines simples

Exercice 2 — Séries de pile ou face p. 4–6

Espaces probabilisés · Fonctions génératrices · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi géométrique · Séries entières · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance — pile ou face, longueur de la première série, nombre de séries, fonction génératrice, formule des probabilités totales

Exercice 3 — La constante d'Euler p. 7–8

Convergence dominée · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Séries numériques · Suites numériques — constante d'Euler, série harmonique, théorème de convergence dominée, expression intégrale de $\gamma$ , intégrale de $\mathrm{e}^{-t} \ln t$

Dans l'édifice

Applications linéaires Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Théorème du rang Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ