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CCINP PSI 2011 — Mathématiques

Limite d'intégrales oscillantes et sommes de séries trigonométriques · 6 pages

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La première partie calcule des sommes de séries : la série alternée de terme $(-1)^{k-1}/k$ par continuité de la somme d'une série entière au bord, la série des $\cos(2k\pi/3)/k$ , puis les séries des $\cos(k\alpha)/k$ et $\sin(k\alpha)/k$ à l'aide du noyau $\varphi(t) = 1/(e^{it} - 1)$ . La seconde étudie la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $\int f(t) g(xt) \,\mathrm{d}t$ : lemme de Riemann-Lebesgue pour $g(t) = e^{it}$ , calcul explicite pour $f(t) = e^{-t}$ , puis, grâce au développement en série de Fourier de $|\sin t|$ , convergence vers $(2/\pi)$ fois l'intégrale de $f$ , d'abord pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ puis pour $f$ en escalier et continue par morceaux.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Une étude de séries p. 1–3

Séries numériques · Séries entières · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Séries alternées · Nombres complexes · Intégrale sur un segment — théorème d'Abel radial, somme de la série harmonique alternée, $\ln 2$ , série des $\cos(k\alpha)/k$ , série des $\sin(k\alpha)/k$ , sommes de Riemann

Partie II — Limite d'une intégrale p. 3–6

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Séries numériques · Intégrale sur un segment — lemme de Riemann-Lebesgue, intégrale oscillante, valeur absolue du sinus, série de Fourier de $|\sin t|$ , fonction en escalier, fonction continue par morceaux, intégration par parties

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Intégrale de Riemann Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Théorème fondamental de l'analyse Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér