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Centrale-Supélec MP 2017 — Maths 1

Sur la partie symétrique d'une matrice · 4 pages

Le sujet étudie les matrices réelles $A$ dont la partie symétrique $A_s = (A + A^\top)/2$ est définie positive. Il montre que $A_s$ est la projection orthogonale de $A$ sur les matrices symétriques, encadre les valeurs propres réelles de $A$ par celles de $A_s$ , établit $\det(A) \geqslant \det(A_s)$ et caractérise les parties symétriques des matrices orthogonales. Il prouve ensuite qu'une telle matrice est $F$ -régulière pour tout sous-espace $F$ (calculs de déterminants par blocs, exemples explicites), puis étudie les matrices positivement stables (valeurs propres de partie réelle $> 0$ ) : $A_s$ définie positive entraîne la stabilité positive, et pour $A$ positivement stable l'équation de Lyapounov $A^\top B + BA = I_n$ a une unique solution $B$ , symétrique définie positive.

Le sujet, partie par partie

Partie I.A et I.B — Distance de $A$ à $A_s$ , valeurs propres de $A_s$ p. 1–2

Projection orthogonale et moindres carrés · Matrices symétriques positives · Déterminants · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens — partie symétrique, matrices antisymétriques, supplémentaires orthogonaux, racine carrée d'une matrice, quotient de Rayleigh, inégalité de déterminants

Partie I.C — Partie symétrique des matrices orthogonales p. 2

Matrices orthogonales et rotations · Théorème spectral · Isométries et groupe orthogonal — groupe orthogonal, rotations planes, réduction des matrices orthogonales, espace propre de dimension paire

Partie II — Matrices $F$ -singulières p. 2–3

Matrices par blocs · Déterminants · Matrices symétriques positives · Dualité · Applications linéaires et rang — matrice $F$ -singulière, matrice bordée, complément de Schur, hyperplan, vecteur normal, rang

Partie III.A — Matrices positivement stables : exemples p. 3–4

Réduction des endomorphismes · Matrices symétriques positives · Nombres complexes — matrice positivement stable, trace et déterminant, forme hermitienne, partie réelle des valeurs propres, matrices commutantes

Parties III.B et III.C — Exponentielle et équation de Lyapounov p. 4

Exponentielle de matrices · Stabilité des équilibres · Systèmes différentiels linéaires · Trigonalisation · Intégrales généralisées et intégrabilité · Matrices symétriques positives — exponentielle de matrice, équation de Lyapounov, trigonalisation, solutions bornées, décroissance exponentielle, matrice définie positive

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de représentation de Riesz Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Matrices d'une application linéaire Espace dual Applications linéaires Théorème du rang Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Flot d'un champ de vecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann