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Centrale-Supélec PC 2015 — Maths 1

Sous-espaces stables par un endomorphisme · 3 pages

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Le sujet étudie les sous-espaces stables par un endomorphisme : droites stables et vecteurs propres, caractérisation sur $\mathbb{C}$ des endomorphismes diagonalisables par l'existence de supplémentaires stables, et description des sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable comme sommes directes de $F \cap E_i$ (d'où $2^n$ sous-espaces stables quand les valeurs propres sont distinctes). Il détermine ensuite les sous-espaces stables par la dérivation sur $\mathbb{K}[X]$ et par un nilpotent d'indice $n$ , montre qu'un endomorphisme réel admet une droite ou un plan stable et l'applique aux trajectoires rectilignes et planes d'un système différentiel, puis caractérise les hyperplans stables à l'aide de la transposée.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités sur les sous-espaces stables p. 1

Sous-espaces stables · Diagonalisation · Espaces vectoriels et dimension · Réduction des endomorphismes — droite stable, vecteur propre, endomorphisme induit, supplémentaire stable, homothétie, sous-espace propre

Partie II — Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable p. 1–2

Sous-espaces stables · Diagonalisation · Déterminants · Matrices remarquables · Dénombrement et combinatoire — somme directe des sous-espaces propres, matrice de Vandermonde, valeurs propres distinctes, nombre de sous-espaces stables, famille libre

Partie III — Dérivation des polynômes et endomorphisme nilpotent p. 2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Polynômes · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Applications linéaires et rang — endomorphisme de dérivation, sous-espaces stables par $D$ , endomorphisme nilpotent d'indice $n$ , base cyclique, noyaux itérés, bloc de Jordan

Partie IV — Droites et plans stables en dimension finie réelle ; trajectoires d'un système différentiel p. 2–3

Sous-espaces stables · Systèmes différentiels linéaires · Réduction des endomorphismes · Nombres complexes · Équations linéaires d'ordre 2 · Trigonalisation — valeur propre complexe non réelle, plan stable, partie réelle et partie imaginaire d'un vecteur propre, réduction réelle par blocs, trajectoires rectilignes, trajectoires planes, problème de Cauchy

Partie V — Hyperplans stables p. 3

Sous-espaces stables · Dualité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Diagonalisation · Calcul matriciel — hyperplan stable, supplémentaire orthogonal, vecteur propre de la transposée, produit scalaire rendant une base orthonormée, intersection d'hyperplans