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Centrale-Supélec PC 2024 — Maths 2

Produits infinis : produit de Wallis, sinus et fonction $\Gamma$ · 6 pages

Le sujet introduit les produits infinis, en calcule plusieurs, dont le produit de Wallis obtenu par les intégrales de Wallis, et en tire le lemme de Borel-Cantelli pour des événements indépendants. Il établit la continuité et le caractère $\mathcal{C}^1$ d'une fonction définie par un produit infini de fonctions, démontre le développement $\sin x = x \prod (1 - x^2/(j\pi)^2)$ et en déduit $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ , puis obtient pour la fonction $\Gamma$ la formule de Gauss, la formule des compléments et la formule de Weierstrass.

Le sujet, partie par partie

I — Résultats préliminaires p. 1–2

Inégalités classiques · Nombres complexes · Produits infinis · Suites numériques — inégalité $1 + x \leqslant e^x$ , limite de $(1 + z/n)^n$ , exponentielle complexe

II — Exemples de calcul de produit infini p. 2

Produits infinis · Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques · Intégrale sur un segment · Équivalents et comparaison — intégrales de Wallis, produit de Wallis, produit télescopique, lemme de Borel-Cantelli, événements indépendants

III — Fonction définie par un produit infini p. 2–3

Produits infinis · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Dérivabilité — produit infini de fonctions, convergence uniforme, dérivée logarithmique, classe $\mathcal{C}^1$

IV — Le sinus comme produit infini p. 3–4

Produits infinis · Racines et relations coefficients-racines · Fonction zêta de Riemann · Convergence uniforme et normale — développement eulérien du sinus, racines d'un polynôme, problème de Bâle, cotangente

V — Autour de la fonction $\Gamma$ p. 4–5

Fonctions Gamma et Bêta · Convergence dominée · Intégrales à paramètre · Produits infinis · Équivalents et comparaison — fonction Gamma, formule de Gauss, formule des compléments, formule de Weierstrass, constante d'Euler

Dans l'édifice

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Lemmes de Borel-Cantelli Loi du 0-1 de Kolmogorov Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Dérivabilité Anneaux de polynômes La fonction zêta de Riemann et son prolongement Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée