AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec PSI 2014 — Maths 1

Racine carrée complexe, suites récurrentes linéaires et polynômes de Tchebychev de seconde espèce · 3 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet construit une racine carrée $R(z)$ sur $\mathbb{C}$ privé de $\mathbb{R}_-$ , à valeurs dans le demi-plan $\operatorname{Re} Z > 0$ , et l'utilise pour résoudre les récurrences $u_{n+2} = 2a u_{n+1} + b u_n$ ; les polynômes $V_n(z) = U_{n+1}(z, -1)$ sont explicités par une somme de coefficients binomiaux. Il étudie ensuite la série génératrice $\sum V_n(z) Z^n = 1/(1 - 2zZ + Z^2)$ (avec la lemniscate $|Z(Z - 2z)| = 1$ ), puis l'opérateur $y \mapsto (1 - t^2)y'' - (2\alpha + 1)t y'$ , autoadjoint pour un produit scalaire à poids $(1 - t^2)^{\alpha - 1/2}$ , dont les vecteurs propres sont orthogonaux ; pour $\alpha = 1$ il identifie $V_n(\cos t) = \sin((n+1)t)/\sin t$ et détermine les racines.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Racine carrée complexe et suites récurrentes linéaires d'ordre 2 p. 1–2

Nombres complexes · Suites récurrentes linéaires · Coefficients binomiaux · Polynômes — racine carrée complexe, détermination principale de l'argument, demi-plan, équation caractéristique, récurrence linéaire d'ordre 2, bijection réciproque

Partie II — Série génératrice et lemniscate p. 2

Séries entières · Fonctions génératrices · Courbes et surfaces · Topologie, compacité, connexité · Développements limités — série génératrice, rayon de convergence, lemniscate de Bernoulli, coordonnées polaires, partie bornée, développement limité

Partie III — Un endomorphisme autoadjoint et ses vecteurs propres polynomiaux p. 3

Polynômes de Tchebychev · Polynômes de Gegenbauer et de Jacobi · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Diagonalisation · Racines et relations coefficients-racines · Séries entières · Espaces préhilbertiens et euclidiens — produit scalaire à poids, endomorphisme autoadjoint, polynômes de Tchebychev de seconde espèce, polynômes de Gegenbauer, vecteurs propres orthogonaux, racines dans l'intervalle

Centrale-Supélec PSI 2014 — Maths 1

Le sujet, partie par partie

Partie I — Racine carrée complexe et suites récurrentes linéaires d'ordre 2 p. 1–2

Partie II — Série génératrice et lemniscate p. 2

Partie III — Un endomorphisme autoadjoint et ses vecteurs propres polynomiaux p. 3

Dans l'édifice