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Centrale-Supélec PSI 2022 — Maths 2

Un opérateur intégral sur un espace préhilbertien et ses vecteurs propres polynomiaux · 4 pages

Le sujet munit l'espace $E$ des fonctions continues $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ telles que $\int f(t)^2 \mathrm{e}^{-t}/t \,\mathrm{d}t$ converge du produit scalaire $\langle f|g\rangle = \int_0^{+\infty} f(t)g(t) \mathrm{e}^{-t}/t \,\mathrm{d}t$ , puis étudie l'opérateur $U$ défini par $U(f)(x) = \langle k_x|f\rangle$ avec $k_x(t) = \mathrm{e}^{\min(x,t)} - 1$ : $U$ est un endomorphisme continu ( $\|U(f)\| \leqslant 4\|f\|$ ), injectif et symétrique de $E$ , et $U(f)$ est solution de $y'' - y' = -f(x)/x$ . L'étude des solutions développables en série entière de $x(y'' - y') + py = 0$ fournit des solutions polynomiales exactement pour $p$ entier naturel non nul, les autres solutions développables n'étant pas dans $E$ ; on en déduit que les seules valeurs propres de $U$ à vecteur propre développable en série entière sont les $1/p$ , de vecteurs propres polynomiaux $P_p(x) = x \mathrm{e}^x (x^{p-1}\mathrm{e}^{-x})^{(p)}$ deux à deux orthogonaux.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Préliminaires : éléments de $E$ p. 1

Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité — intégrale généralisée, critère de convergence, fonction de carré intégrable à poids

Partie II — Structure préhilbertienne de $E$ p. 2

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité — produit scalaire intégral, poids $\mathrm{e}^{-t}/t$ , espace préhilbertien de fonctions, inégalité de Cauchy-Schwarz

Partie III — Un opérateur sur $E$ p. 2–3

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Intégrales à paramètre · Équations différentielles linéaires · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville — opérateur intégral, noyau $\mathrm{e}^{\min(x,t)} - 1$ , endomorphisme symétrique, opérateur borné, injectivité

Partie IV — Solutions développables en série entière p. 3–4

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Polynômes · Équivalents et comparaison — équation différentielle linéaire du second ordre, solution développable en série entière, solutions polynomiales, rayon de convergence

Partie V — Éléments propres de $U$ p. 4

Opérateurs et théorie spectrale · Polynômes orthogonaux · Équations linéaires d'ordre 2 · Polynômes de Laguerre · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville — valeurs propres, vecteurs propres orthogonaux, polynômes de type Laguerre, formule de type Rodrigues

Dans l'édifice

Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Anneaux de polynômes Suites réelles et limites

Centrale-Supélec PSI 2022 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Partie I — Préliminaires : éléments de EE p. 1

Partie II — Structure préhilbertienne de EE p. 2

Partie III — Un opérateur sur EE p. 2–3