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e3a-Polytech MP 2011 — Mathématiques

La fonction dilogarithme · 4 pages

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Le problème étudie la fonction $L(x) = -\int_0^x \ln(1-t)/t \,\mathrm{d}t$ (dilogarithme), à partir du développement en série entière de $f(t) = \ln(1-t)/t$ . Il établit la régularité de $L$ , son développement $\sum x^n/n^2$ sur $\left]-1, 1\right]$ , la relation $L(x) + L(-x) = L(x^2)/2$ , calcule $\sum 1/(2k+1)^2 = \pi^2/8$ par une identité trigonométrique en $1/\sin^2$ , d'où $L(1) = \pi^2/6$ , la formule des compléments $L(1-x) = L(1) - \ln x \ln(1-x) - L(x)$ donnant $L(1/2)$ , étudie le comportement en $-\infty$ et résout des équations différentielles dont $L$ est solution.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — La fonction $f$ p. 1–2

Séries entières · Dérivabilité · Développements limités — rayon de convergence, développement en série entière de $\ln(1 - t)$ , fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , prolongement par continuité

Partie II — La fonction $L$ p. 2

Séries entières · Intégrale sur un segment · Intégrales généralisées et intégrabilité · Continuité · Convergence uniforme et normale — dilogarithme, fonction définie par une intégrale, théorème d'Abel radial, prolongement par continuité, équation fonctionnelle, développement en série entière

Partie III — Calcul de $L(1)$ et de $L(1/2)$ p. 3

Fonction zêta de Riemann · Interversion des limites · Séries numériques · Convergence dominée · Inégalités classiques · Intégrale sur un segment — problème de Bâle, somme des $1/(2k+1)^2$ , identité trigonométrique, inégalité de Jordan, $\sin x \geqslant 2x/\pi$ , formule des compléments du dilogarithme, valeur de $L(1/2)$

Partie IV — Étude en $-\infty$ et graphe p. 4

Équivalents et comparaison · Dérivabilité · Développements asymptotiques — branche infinie, relation d'inversion, limite en $-\infty$ , représentation graphique, dérivée d'une composée

Partie V — Équations différentielles p. 4

Équations différentielles linéaires · Équations linéaires d'ordre 2 — équation différentielle linéaire d'ordre 1, équation homogène, recollement de solutions, équation d'ordre 2, espace affine des solutions

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes La fonction zêta de Riemann et son prolongement Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de convergence dominée Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Suites réelles et limites Systèmes linéaires et exponentielle de matrices

e3a-Polytech MP 2011 — Mathématiques

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — La fonction ff p. 1–2

Partie II — La fonction LL p. 2

Partie III — Calcul de L(1)L(1) et de L(1/2)L(1/2) p. 3

Partie IV — Étude en −∞-\infty et graphe p. 4