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e3a-Polytech MP 2015 — Maths 2

Inverse d'une série entière et nombres de Bernoulli · 5 pages

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Le sujet montre d'abord qu'une série entière de terme constant 1 et de rayon non nul admet un inverse développable en série entière au voisinage de $0$ . Il l'applique à $f(z) = (e^z - 1)/z$ pour obtenir le développement de $g(z) = z/(e^z - 1) = \sum \gamma_n z^n$ , dont les coefficients sont rationnels, vérifient une relation de récurrence et sont nuls aux rangs impairs $\geqslant 3$ . Il étudie ensuite les séries $\sum a_n h^n$ avec $h(t) = 1 - e^t$ , puis écrit $g(t) = \sum (1 - e^t)^k/(k+1)$ pour en déduire, grâce à la formule de Leibniz, une expression explicite de $\gamma_n$ sous forme de sommes doubles faisant intervenir les $j^n$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Inverse d'une série entière p. 2

Séries entières · Familles sommables et produit de Cauchy · Suites numériques — rayon de convergence, inverse d'une série entière, produit de Cauchy, majoration des coefficients, lemme d'Abel, relation de récurrence

Partie II A — La fonction $z/(e^z - 1)$ p. 3

Séries entières · Nombres complexes · Continuité · Fonctions génératrices — exponentielle complexe, zéros de $e^z - 1$ , développement en série entière sur $\mathbb{C}$ , fonction paire, série génératrice des nombres de Bernoulli

Partie II B — Propriétés des coefficients $\gamma_n$ p. 4

Polynômes et nombres de Bernoulli · Séries entières · Nombres rationnels et décimaux — nombres de Bernoulli, relation de récurrence, coefficients rationnels, nullité des coefficients d'indice impair

Partie III — Séries de fonctions $\sum a_n (1 - e^t)^n$ p. 4–5

Suites et séries de fonctions · Interversion des limites · Séries entières · Convergence uniforme et normale — série de fonctions, dérivation terme à terme, convergence normale sur un segment, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , composition de séries entières

Partie IV — Formule explicite des nombres de Bernoulli p. 5

Polynômes et nombres de Bernoulli · Dérivabilité · Coefficients binomiaux · Suites et séries de fonctions — formule de Leibniz, dérivées successives en $0$ , nombres de Bernoulli, somme double, coefficients binomiaux

e3a-Polytech MP 2015 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Partie I — Inverse d'une série entière p. 2

Partie II A — La fonction z/(ez−1)z/(e^z - 1) p. 3

Partie II B — Propriétés des coefficients γn\gamma_n p. 4

Partie III — Séries de fonctions ∑an(1−et)n\sum a_n (1 - e^t)^n p. 4–5

Partie IV — Formule explicite des nombres de Bernoulli p. 5

Dans l'édifice

Partie II A — La fonction $z/(e^z - 1)$ p. 3

Partie II B — Propriétés des coefficients $\gamma_n$ p. 4

Partie III — Séries de fonctions $\sum a_n (1 - e^t)^n$ p. 4–5