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e3a-Polytech PC 2012 — Mathématiques

Endomorphismes construits à l'aide de formes linéaires · 5 pages

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Le sujet étudie d'abord une matrice $A$ de rang 1 et nilpotente d'ordre 2 de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , dont la quadrique d'équation ${}^t\!XAX = 0$ est la réunion de deux plans perpendiculaires, puis trois suites récurrentes couplées dont il calcule les limites directement et par diagonalisation. Il traite ensuite les endomorphismes $x \mapsto u(x)a$ de rang 1 : éléments propres, critère de diagonalisabilité $u(a) \neq 0$ , et le fait que deux matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si elles ont même trace. Il étudie enfin $h(x) = u(a)x - u(x)a$ , montre que ses itérés tendent vers $0$ quand $|u(a)| < 1$ et l'applique à une suite de fonctions définie par une relation intégrale.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Une matrice de rang 1 p. 1–2

Calcul matriciel · Matrices orthogonales et rotations · Nilpotents, Jordan, Dunford · Formes bilinéaires et quadratiques · Géométrie affine et euclidienne · Dualité — matrice de rang 1, base orthonormée, matrices semblables, matrice orthogonale, réunion de deux plans, matrice non diagonalisable

Deuxième partie — Trois suites récurrentes couplées p. 3

Diagonalisation · Suites numériques · Calcul matriciel — suites récurrentes couplées, récurrence matricielle $X_{n+1} = MX_n$ , diagonalisation, matrice de passage, limite de suites

Troisième partie — Endomorphismes de rang 1 p. 3–5

Diagonalisation · Dualité · Applications linéaires et rang · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — endomorphisme de rang 1, forme linéaire, polynôme annulateur, théorème de la base incomplète, matrices semblables, trace

Quatrième partie — L'endomorphisme $x \mapsto u(a)x - u(x)a$ p. 5

Dualité · Réduction des endomorphismes · Espaces vectoriels normés · Diagonalisation · Opérateurs et théorie spectrale · Intégrale sur un segment — noyau et image, forme linéaire, itérés d'un endomorphisme, dimension infinie, équation intégrale, convergence vers $0$