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e3a-Polytech PC 2024 — Mathématiques

Quatre exercices : un endomorphisme de polynômes, parité d'une loi de Poisson, une série oscillante, un produit scalaire pondéré · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier décompose $\mathbb{R}_{2n}[X]$ en somme orthogonale de $\operatorname{Vect}(1)$ et du noyau de la forme linéaire $L : P \mapsto \int_{-1}^1 P(t)\,\mathrm{d}t$ , puis étudie l'endomorphisme $T_\lambda(P) = P + \lambda L(P)X$ (valeurs propres, diagonalisabilité, composée $T_\alpha \circ T_\beta$ , inverse). Le deuxième calcule, à l'aide de $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ , la loi de la parité d'une variable de Poisson et celle du produit $XZ$ , où $Z$ vaut $1$ ou $2$ avec probabilité $1/2$ ; le troisième compare la série de terme général $\sin(n^\alpha)/n$ , avec $\alpha \in \left]0, 1\right[$ , à l'intégrale de $\sin(t^\alpha)/t$ pour en établir la convergence, puis montre qu'elle n'est pas absolument convergente ; le quatrième munit $\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $\sum 2^{-n} P(n)Q(n)$ et calcule la distance de $X^2$ à $\mathbb{R}_1[X]$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Une forme linéaire et un endomorphisme de $\mathbb{R}_{2n}[X]$ p. 2

Applications linéaires et rang · Diagonalisation · Dualité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — forme linéaire, noyau d'une forme linéaire, supplémentaire orthogonal, valeurs propres, automorphisme, matrice dans une base adaptée

Exercice 2 — Parité d'une variable de Poisson p. 2–3

Loi de Poisson · Espaces probabilisés · Séries entières · Couples et sommes de variables aléatoires — loi de Poisson, fonctions $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ , système complet d'événements, variables indépendantes, probabilité d'être pair

Exercice 3 — Nature d'une série par comparaison avec une intégrale p. 3–4

Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries numériques · Inégalités classiques — comparaison série-intégrale, intégration par parties, intégrale de $\sin(t)/t$ , changement de variable, convergence absolue, inégalité des accroissements finis

Exercice 4 — Un produit scalaire sur les polynômes et une distance p. 4–5

Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Séries entières · Séries numériques — produit scalaire sur les polynômes, série géométrique dérivée, sommes de $n^\alpha 2^{-n}$ , distance à un sous-espace, projection orthogonale, minimum d'une somme de carrés

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Espace dual Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Lois de Poisson et loi exponentielle Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Indépendance d'événements et de tribus Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces vectoriels normés et espaces de Banach