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e3a-Polytech PSI 2016 — Maths 2

Calcul de $\zeta(2)$ et étude de la fonction $H$ , intégrale de $t^x \ln t / (t - 1)$ · 5 pages

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Les préliminaires étudient le polynôme $P_n = ((X + i)^{2n+1} - (X - i)^{2n+1}) / (2i)$ , dont les racines sont les cotangentes de $k\pi/(2n+1)$ , pour en déduire que la somme des $1/\tan^2(k\pi/(2n+1))$ vaut $n(2n - 1)/3$ puis, par encadrement, que la somme des $1/k^2$ vaut $\pi^2/6$ . Le sujet étudie ensuite la fonction $H$ définie par l'intégrale sur $[0, 1]$ de $t^x \ln(t)/(t - 1)$ : domaine $\left]-1, +\infty\right[$ , classe $\mathcal{C}^1$ , relation $H(x) - H(x + 1) = 1/(x + 1)^2$ , écriture $H(x) = \sum 1/(x + k)^2$ , équivalents en $-1$ et en $+\infty$ , série alternée des $H(n)$ . Il établit enfin le développement en série entière de $H$ sur $\left]-1, 1\right[$ à l'aide des valeurs de $\zeta$ aux entiers.

Le sujet, partie par partie

Préliminaires — Racines d'un polynôme et calcul de $\zeta(2)$ p. 2

Racines et relations coefficients-racines · Fonction zêta de Riemann · Nombres complexes · Polynômes · Séries numériques — racines $n$ -ièmes de l'unité, relations coefficients-racines, somme des $1/\tan^2$ , problème de Bâle, encadrement $\sin x \leqslant x \leqslant \tan x$ , polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$

Partie 1 — Étude de la fonction $H$ p. 3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries numériques · Fonction zêta de Riemann · Équivalents et comparaison — intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, fonction trigamma, relation $H(x) - H(x + 1) = 1/(x + 1)^2$ , domination, équivalent en $-1$

Partie 2 — Équivalent en $+\infty$ et série alternée p. 3

Comparaison série-intégrale · Séries alternées · Théorèmes de convergence intégrale · Équivalents et comparaison — comparaison série-intégrale, équivalent en $+\infty$ , critère spécial des séries alternées, intégration terme à terme, intégrale de $\ln v / (v^2 - 1)$

Partie 3 — Développement en série entière de la fonction $H$ p. 4

Séries entières · Fonction zêta de Riemann · Interversion des limites · Intégrale sur un segment · Intégrales généralisées et intégrabilité — développement en série entière, intégration par parties, intégrales de $t^p \ln(t)^q$ , rayon de convergence, valeurs de $\zeta$ aux entiers, intégration terme à terme

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes La fonction zêta de Riemann et son prolongement Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Intégrale de Riemann Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème fondamental de l'analyse

e3a-Polytech PSI 2016 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Préliminaires — Racines d'un polynôme et calcul de ζ(2)\zeta(2) p. 2

Partie 1 — Étude de la fonction HH p. 3

Partie 2 — Équivalent en +∞+\infty et série alternée p. 3

Partie 3 — Développement en série entière de la fonction HH p. 4

Dans l'édifice

Préliminaires — Racines d'un polynôme et calcul de $\zeta(2)$ p. 2

Partie 1 — Étude de la fonction $H$ p. 3

Partie 2 — Équivalent en $+\infty$ et série alternée p. 3

Partie 3 — Développement en série entière de la fonction $H$ p. 4