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e3a-Polytech PSI 2017 — Maths 2

Matrices nilpotentes réelles · 3 pages

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Le sujet étudie l'ensemble $\mathcal{N}$ des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : propriétés élémentaires (spectre, trigonalisation, critère $A^n = 0$ , nilpotentes symétriques et antisymétriques), exemples en taille 2, puis il montre que $\mathcal{N}$ engendre l'hyperplan des matrices de trace nulle et que la dimension maximale d'un sous-espace contenu dans $\mathcal{N}$ est $n(n-1)/2$ . Il établit enfin que $\mathcal{N}$ est un fermé d'intérieur vide et construit une racine carrée de $I + \alpha A$ comme polynôme en $A$ .

Le sujet, partie par partie

Questions de cours et Partie 1 — Propriétés élémentaires p. 1

Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Diagonalisation · Calcul matriciel — matrice nilpotente, indice de nilpotence, matrices élémentaires, matrice antisymétrique, spectre d'une matrice nilpotente, produits $AB$ et $BA$ , trace

Partie 2 — Exemples p. 2

Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Matrices remarquables — matrice triangulaire stricte, éléments propres, polynôme annulateur, matrice de rang 1, nilpotentes de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$

Partie 3 — Sous-espace engendré par $\mathcal{N}$ p. 2

Espaces vectoriels et dimension · Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel — matrices de trace nulle, sous-espace engendré, famille libre, matrices élémentaires, hyperplan

Partie 4 — Sous-espaces de dimension maximale contenus dans $\mathcal{N}$ p. 2–3

Espaces vectoriels et dimension · Nilpotents, Jordan, Dunford · Trigonalisation · Endomorphismes symétriques, théorème spectral — matrices triangulaires supérieures strictes, somme directe, matrices symétriques, formule de Grassmann, sous-espace de matrices nilpotentes

Partie 5 — Un peu de topologie p. 3

Topologie des espaces de matrices · Topologie, compacité, connexité · Déterminants — partie fermée, intérieur vide, boule ouverte, matrices inversibles, sous-espace d'intérieur non vide

Partie 6 — Deux autres résultats p. 3

Séries entières · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes — inverse de $I + N$ , série géométrique, développement de $(1+x)^{1/2}$ , racine carrée d'une matrice, unipotente

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Formes multilinéaires alternées Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques