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e3a-Polytech PSI 2021 — Mathématiques

Quatre exercices : un endomorphisme de dérivation, Fibonacci et lois de Poisson, intégrales $\int \exp(-t^n)$ , projecteurs spectraux · 4 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le premier exercice étudie l'endomorphisme $f \mapsto (1 + x) f'$ sur l'espace engendré par $\ln(1 + x)$ et les $(1 + x)^{-k}$ , sa diagonalisabilité et celle de son carré, puis des équations différentielles itérées et une série de fonctions. Le deuxième combine la suite de Fibonacci et une suite de variables aléatoires $X_{n+2} = X_{n+1} + X_n$ issue de deux lois de Poisson indépendantes : loi, espérance, variance et covariance. Le troisième obtient un équivalent de $I_n = \int_1^{\infty} \exp(-t^n)\,\mathrm{d}t$ par convergence dominée, et le quatrième montre que $u$ est diagonalisable si et seulement si ses puissances s'écrivent $u^k = \sum \lambda_j^k p_j$ , avec $p_j = L_j(u)$ pour les polynômes de Lagrange $L_j$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Un endomorphisme de dérivation et des équations différentielles p. 2

Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Équations différentielles linéaires · Suites et séries de fonctions · Espaces vectoriels et dimension — famille libre, noyau et image, matrice d'un endomorphisme, endomorphisme non diagonalisable, équation différentielle du premier ordre, série de fonctions

Exercice 2 — Suite de Fibonacci et variables de Poisson p. 3

Suites récurrentes linéaires · Loi de Poisson · Covariance et corrélation · Espérance, variance, moments · Équivalents et comparaison · Couples et sommes de variables aléatoires — suite de Fibonacci, nombre d'or, somme de variables de Poisson indépendantes, variables non indépendantes, espérance, covariance

Exercice 3 — Équivalent des intégrales $\int_1^{\infty} \exp(-t^n)\,\mathrm{d}t$ p. 3–4

Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières — théorème de convergence dominée, changement de variable, intégrale impropre, équivalent, rayon de convergence

Exercice 4 — Diagonalisabilité et projecteurs spectraux p. 4

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Interpolation polynomiale · Espaces vectoriels et dimension — projecteurs spectraux, polynôme annulateur scindé à racines simples, polynômes d'interpolation de Lagrange, base de polynômes, valeurs propres