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e3a-Polytech PSI 2024 — Mathématiques

Quatre exercices : matrices aléatoires binomiales, un opérateur intégral à noyau min, une perturbation de rang deux de l'identité, un développement asymptotique · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier calcule, à l'aide de l'identité $\sum \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$ , la probabilité que la matrice triangulaire de coefficients diagonaux $Y$ et $Z$ , de lois binomiales $\mathcal{B}(n, 1/2)$ indépendantes, et de coefficient sous-diagonal $2$ , soit diagonalisable, puis inversible. Le deuxième étudie l'opérateur $T(f)(x) = \int_0^1 \min(x, t) f(t)\,\mathrm{d}t$ sur $\mathcal{C}^0([0, 1])$ : $T(f)$ résout $F'' = -f$ avec $F(0) = F'(1) = 0$ , ce qui donne son image et ses éléments propres. Le troisième détermine les valeurs propres de $I_n + \alpha XX^\top + \beta YY^\top$ par la stabilité de $\operatorname{Vect}(X, Y)$ et de son orthogonal ; le quatrième établit, par des encadrements de l'exponentielle et le calcul de $\int_0^1 -\ln(t) t^p\,\mathrm{d}t = 1/(p + 1)^2$ , que $\gamma_n = \int_0^1 (1 - t^{1/n})/(1 - t)^{1+1/n}\,\mathrm{d}t$ vérifie $\gamma_n = \pi^2/(6n) + o(1/n)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Diagonalisabilité d'une matrice aléatoire p. 2

Lois de Bernoulli et binomiale · Coefficients binomiaux · Diagonalisation · Matrices et graphes aléatoires — formule de Vandermonde, somme des carrés des coefficients binomiaux, matrice triangulaire, matrice diagonalisable, variables indépendantes

Exercice 2 — Un opérateur intégral à noyau $\min(x, t)$ p. 2–3

Opérateurs et théorie spectrale · Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrale sur un segment · Réduction des endomorphismes — opérateur intégral, noyau $\min(x, t)$ , équation $y'' + \alpha y = 0$ , conditions aux limites, éléments propres, image d'un endomorphisme

Exercice 3 — Valeurs propres de $I_n + \alpha XX^\top + \beta YY^\top$ p. 3–4

Théorème spectral · Sous-espaces stables · Matrices remarquables · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Diagonalisation — matrice symétrique réelle, matrice de rang 1, polynôme annulateur, orthogonal d'un sous-espace stable, matrice de l'endomorphisme induit sur $\operatorname{Vect}(X, Y)$

Exercice 4 — Développement asymptotique d'une suite d'intégrales p. 4–5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements asymptotiques · Convergence dominée · Interversion des limites · Développements limités · Fonction zêta de Riemann · Inégalités classiques — intégrales de Riemann, encadrement de l'exponentielle, intégrale de $\ln(t) t^p$ , convergence dominée, somme des $1/n^2$ , équivalent en $\pi^2/(6n)$

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Déterminant d'un endomorphisme Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Théorème de convergence dominée Une série entière est holomorphe La fonction zêta de Riemann et son prolongement Espaces vectoriels normés et espaces de Banach