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Mines-Ponts MP 2016 — Maths 1

Autour de l'inégalité de Hoffman-Wielandt · 6 pages

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Le sujet étudie d'abord la matrice de permutation circulaire $J$ , sa diagonalisation et la marche aléatoire symétrique sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $n$ impair) dont il calcule la loi limite. Il démontre ensuite le théorème de Birkhoff-von Neumann : l'ensemble des matrices bistochastiques est un convexe compact dont les points extrémaux sont les matrices de permutation, et toute forme linéaire y atteint son minimum en une matrice de permutation. Il en déduit l'inégalité de Hoffman-Wielandt, qui majore $\min_\sigma \sum |\lambda_{\sigma(j)}(A) - \lambda_j(B)|^2$ par $\|A - B\|^2$ pour $A$ , $B$ symétriques réelles, puis calcule la distance de transport quadratique $d_2$ entre deux lois uniformes discrètes, égale à la moyenne des carrés des écarts entre valeurs triées, et en déduit $n\, d_2(P_1, P_2) \leqslant \|A - B\|^2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Un exemple (matrice circulante et marche aléatoire sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ) p. 2–3

Matrices remarquables · Diagonalisation · Marches aléatoires · Nombres complexes · Chaînes de Markov · Matrices stochastiques et bistochastiques — matrice de permutation circulaire, racines $n$ -ièmes de l'unité, marche aléatoire sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , loi limite uniforme, matrice de transition

Partie B — Théorème de Birkhoff-Von Neumann p. 3–5

Matrices stochastiques et bistochastiques · Ensembles convexes · Transport optimal · Groupe symétrique · Compacité · Groupes · Dualité · Extrema et optimisation — matrice bistochastique, matrice de permutation, point extrémal, théorème de Birkhoff-von Neumann, combinaison convexe, lemme de König-Hall

Partie C — Inégalité de Hoffman-Wielandt p. 5–6

Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Matrices stochastiques et bistochastiques · Transport optimal · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires — inégalité de Hoffman-Wielandt, norme de Frobenius, perturbation des valeurs propres, distance de Wasserstein, couplage de lois, inégalité de réarrangement

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Indépendance d'événements et de tribus Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Théorème de Hahn-Banach Applications différentiables Groupe symétrique et signature Compacité Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Espace dual Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Théorème de représentation de Riesz Espérance, variance et inégalités