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Mines-Ponts MPI 2023 — Maths 1

Théorème de stabilité de Liapounov · 6 pages

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Le sujet construit d'abord une norme adaptée sur $\mathcal{L}(E)$ , puis établit la stabilité asymptotique de l'origine pour le système linéaire $x' = a(x)$ lorsque les valeurs propres de $a$ sont de partie réelle strictement négative, grâce aux sous-espaces caractéristiques et à l'exponentielle d'endomorphisme. Il démontre enfin le théorème de Liapounov pour un système non linéaire au voisinage d'un point d'équilibre, à l'aide d'une forme quadratique servant de fonction de Liapounov.

Le sujet, partie par partie

A. Étude d'une norme sur $\mathcal{L}(E)$ p. 2–3

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Compacité — norme subordonnée, norme sous-multiplicative

B. Stabilité en $0$ du système linéaire p. 3–4

Stabilité des équilibres · Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Normes subordonnées et applications linéaires continues — sous-espaces caractéristiques, exponentielle d'endomorphisme, stabilité asymptotique, valeurs propres de partie réelle négative

C. Démonstration du théorème de Liapounov p. 5–6

Stabilité des équilibres · Formes bilinéaires et quadratiques · Équations différentielles non linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Calcul différentiel · Exponentielle de matrices — fonction de Liapounov, point d'équilibre, décroissance exponentielle, théorème de Liapounov

Dans l'édifice

Applications linéaires continues et dual topologique Compacité Flot d'un champ de vecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Applications linéaires Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Espace dual Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis