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Mines-Ponts MPI 2023 — Maths 2

Fonction de Wallis · 6 pages

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Le sujet étudie la fonction $f$ définie par $f(x) = \int_0^{\pi/2} \sin^x(t) \,\mathrm{d}t$ , en s'appuyant sur la série $\sigma(x) = \sum x^k/k^2$ dont on calcule d'abord $\sigma(1) = \pi^2/6$ . On établit la relation fonctionnelle $(x+1)f(x) = (x+2)f(x+2)$ , des équivalents en $-1$ et en $+\infty$ , un développement en série entière de $f$ , puis on calcule $f''(0)$ grâce au développement en série trigonométrique de $\ln(a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x)$ et à la convergence simple d'une suite de fonctions. On montre enfin que $f$ est l'unique fonction ln-convexe vérifiant la relation fonctionnelle et $f(0) = \pi/2$ , à la manière du théorème de Bohr-Mollerup.

Le sujet, partie par partie

Préliminaires et 1. Calcul de $\sigma(1)$ p. 2–3

Fonction zêta de Riemann · Intégrale sur un segment · Suites et séries de fonctions — $\zeta(2) = \pi^2/6$ , problème de Bâle, lemme de Riemann-Lebesgue, somme de $\cos(kt)$

2. Équivalents p. 3

Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison · Formule de Stirling · Fonctions convexes — intégrales de Wallis, relation $(x+1)f(x) = (x+2)f(x+2)$ , équivalent en $+\infty$

3. Développement en série entière p. 3–4

Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison — intégrale de $\ln(\sin t)$ , rayon de convergence, développement en série entière

4. Convergence d'une suite de fonctions p. 4–5

Suites et séries de fonctions · Intégrales à paramètre · Séries de Fourier · Convergence dominée — $\ln(a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x)$ , série trigonométrique, convergence simple, calcul de $f''(0)$

5. Convexité logarithmique p. 5–6

Fonctions convexes · Inégalité de Jensen · Suites numériques — log-convexité, inégalité des pentes, équation fonctionnelle $(x+1)f(x) = (x+2)f(x+2)$ , caractérisation à la Bohr-Mollerup

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongement Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Dérivabilité Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ