AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PC 2019 — Maths 2

Étude d'une série de fonctions · 5 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet étudie la dérivabilité de la fonction de Riemann $R(x) = \sum \sin(n^2 x)/n^2$ . Il montre que $h \sum f(nh)$ tend vers l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}_+$ quand $h$ tend vers $0$ , ce qui donne un équivalent de $R$ en $0^+$ et sa non-dérivabilité en $0$ , puis il démontre la formule sommatoire de Poisson à l'aide des coefficients de Fourier. Appliquée à $f(t) = (e^{it^2} - 1)/t^2$ , elle fournit un développement de $F(x) = \sum e^{in^2 x}/n^2$ en $0^+$ et permet de prouver que $R$ est dérivable en $\pi$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 2

Convergence uniforme et normale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Transformées de Fourier et de Laplace — fonction de Riemann, convergence normale, intégrale de Fresnel, transformée de Fourier, continuité sous l'intégrale

Partie II — Étude de la dérivabilité de $R$ en $0$ p. 3

Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Dérivabilité — somme de Riemann sur $\mathbb{R}_+$ , théorème de convergence dominée, partie entière, équivalent en $0$ , non-dérivabilité

Partie III — Formule sommatoire de Poisson p. 3–4

Séries de Fourier · Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence uniforme et normale · Familles sommables et produit de Cauchy — formule sommatoire de Poisson, coefficients de Fourier, fonction $2\pi$ -périodique, série indexée par $\mathbb{Z}$ , périodisation

Partie IV — Étude de la dérivabilité de $R$ en $\pi$ p. 5

Transformées de Fourier et de Laplace · Dérivabilité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Développements asymptotiques — intégrale de Fresnel, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , développement en série entière, formule sommatoire de Poisson, dérivabilité en $\pi$

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Dérivabilité Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér La demi-droite achevée et les sommes positives Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques