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X-ENS MP 2015 — Maths A

Entrelacement des valeurs propres et théorème de Schur-Horn · 5 pages

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Le sujet caractérise les $n$ -uplets entrelacés avec $n + 1$ réels ordonnés à l'aide de la décomposition $P = (X - a)Q_0 - \sum \alpha_j Q_0/(X - \mu_j)$ à coefficients $\alpha_j$ positifs, puis, par le complément de Schur, montre que le spectre d'une matrice symétrique et celui de sa sous-matrice principale d'ordre $n$ sont entrelacés, et que tout $n$ -uplet entrelacé est atteint (théorème d'entrelacement de Cauchy et sa réciproque). Il établit ensuite les inégalités de Schur $m_{11} + \cdots + m_{ss} \leqslant \lambda_1 + \cdots + \lambda_s$ pour la diagonale d'une matrice symétrique et décrit, pour $n = 3$ et $M$ de trace nulle à valeurs propres distinctes, l'ensemble des diagonales des matrices orthogonalement semblables à $M$ comme un hexagone (cas du théorème de Schur-Horn).

Le sujet, partie par partie

Notations et questions préliminaires p. 1–2

Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Compacité · Groupes de matrices · Entrelacement et inégalités spectrales — groupe orthogonal, compacité de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ , matrices symétriques orthogonalement semblables, suites entrelacées

Première partie — Polynômes à racines entrelacées p. 2–3

Racines et relations coefficients-racines · Fractions rationnelles · Entrelacement et inégalités spectrales · Espaces vectoriels et dimension · Continuité · PGCD, Bézout, Gauss — racines entrelacées, base de polynômes, décomposition en éléments simples, PGCD de $P$ et $P'$ , valeurs intermédiaires

Deuxième partie — Entrelacement des spectres d'une matrice symétrique et d'une sous-matrice p. 3–4

Entrelacement et inégalités spectrales · Matrices par blocs · Théorème spectral · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Compacité — complément de Schur, théorème d'entrelacement de Cauchy, matrice bordée, polynôme caractéristique, sous-matrice principale

Troisième partie — Inégalités de Schur sur la diagonale p. 4

Entrelacement et inégalités spectrales · Théorème spectral · Inégalités classiques — diagonale d'une matrice symétrique, inégalités de Schur, majorisation, récurrence sur la taille

Quatrième partie — Diagonales des matrices symétriques d'ordre 3 p. 4–5

Entrelacement et inégalités spectrales · Ensembles convexes · Isométries et groupe orthogonal · Groupe symétrique · Géométrie affine et euclidienne · Théorème spectral — théorème de Schur-Horn, diagonales des matrices orthogonalement semblables, symétries orthogonales, permutation des coordonnées, quadrilatère, hexagone