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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2024 — Maths D

Le théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass sur les rationnels et les fonctions EE · 11 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet démontre que, pour des rationnels distincts a1,…,ara_1, \ldots, a_r, les nombres ea1,…,eare^{a_1}, \ldots, e^{a_r} sont linéairement indépendants sur ℚ\mathbb{Q} (preuve de Beukers, Bézivin et Robba), ce qui entraîne l'irrationalité de log⁡a\log a et la transcendance de eae^a. Il étudie pour cela les séries formelles à coefficients rationnels : développements de fractions rationnelles, séries globalement bornées, séries solutions d'équations différentielles et récurrences polynomiales, transformée de Laplace formelle. L'argument final est arithmétique : une suite de rationnels à dénominateurs contrôlés, divisibles par k!k! et majorés, est nulle. Une dernière partie introduit les fonctions EE et la fonction de Bessel J0J_0.

Le sujet, partie par partie

Introduction et Partie A — Quelques conséquences p. 2

Nombres transcendants · Irrationalité et approximation diophantienne · Polynômes — théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass, indépendance linéaire sur ℚ\mathbb{Q}, irrationalité de log⁡a\log a, nombre transcendant

Partie B — Séries entières et fractions rationnelles p. 3–5

Séries formelles · Fractions rationnelles · Arithmétique des entiers · Séries entières · Polynômes — séries formelles à coefficients rationnels, développement en série d'une fraction rationnelle, série globalement bornée, coefficients entiers, série lacunaire des carrés, primitive formelle

Partie C — Séries entières et opérateurs différentiels p. 5–6

Séries formelles · Équations différentielles linéaires · Suites récurrentes linéaires · Coefficients binomiaux · Transformées de Fourier et de Laplace — opérateur différentiel à coefficients polynomiaux, série solution d'une équation différentielle, récurrence à coefficients polynomiaux, transformée de Laplace formelle, coefficients (2n)!(3n)!/(n!)5(2n)!(3n)!/(n!)^5

Partie D — Stratégie de la démonstration p. 6–7

Séries formelles · Fractions rationnelles · Équations différentielles linéaires · Nombres transcendants — polynôme exponentiel, pôles d'une fraction rationnelle, transformée de Laplace, réduction à une proposition

Parties E et F — Arithmétique des coefficients et démonstration p. 8–9

Nombres transcendants · Arithmétique des entiers · Suites récurrentes linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements asymptotiques · Fractions rationnelles — récurrence linéaire, dénominateur commun, divisibilité par k!k!, majoration des coefficients, représentation intégrale, argument de taille

Partie G — Fonctions EE p. 10–11

Séries entières · Fonctions de Bessel · Séries formelles · Équations différentielles linéaires · Nombres transcendants — fonctions EE, fonction de Bessel J0J_0, zéros simples, théorème de Siegel-Shidlovskii, stabilité par produit

Dans l'édifice

Éléments algébriques et polynôme minimalℚ n'a pas la propriété de la borne supérieureUn corps ordonné complet est archimédienAnneaux de polynômesSéries entières et rayon de convergenceCorps des fractions d'un anneau intègreDivision euclidiennePGCD, théorème de Bézout, lemme de GaussThéorème fondamental de l'arithmétiqueUne série entière est holomorpheLes fonctions holomorphes sont analytiquesSystèmes linéaires et exponentielle de matricesSuites réelles et limitesMatrices d'une application linéaireEnsembles finis et principe des tiroirsTransformée de Fourier des fonctions intégrablesFormule d'inversion de FourierThéorème de PlancherelFonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannDérivabilitéThéorème de Schwarz et intégrales à paramètre
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