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X-ENS MPI 2023 — Maths B

Diagonalisation analytique des matrices symétriques dépendant d'un paramètre · 7 pages

Le sujet travaille sur des séries entières de rayon positif vues comme un anneau normé, puis démontre un lemme de factorisation des polynômes à coefficients séries entières, de type Hensel. Il en déduit le théorème de Rellich : une matrice symétrique réelle dont les coefficients sont des séries entières se diagonalise par une matrice orthogonale dont les coefficients sont eux aussi des séries entières.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie p. 2–4

Séries entières · Espaces vectoriels normés · Anneaux et idéaux · Convergence uniforme et normale — inverse d'une série entière, norme $\|f\|_r$ , anneau intègre, convergence normale

Deuxième partie p. 4–6

Polynômes · Séries entières · Racines et relations coefficients-racines · Espaces vectoriels normés · Suites numériques — lemme de Hensel, division euclidienne, factorisation, racine multiple, suite itérative

Troisième partie p. 6–7

Théorème spectral · Séries entières · Matrices par blocs · Sous-espaces stables · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — théorème de Rellich, matrice orthogonale, polynôme caractéristique, diagonalisation analytique

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Anneaux de polynômes Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Déterminant d'un endomorphisme