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Agrégation externe 2014 — Mathématiques générales

Matrices totalement positives et décomposition de Bruhat · 14 pages

Le sujet étudie les matrices totalement positives inversibles, dont tous les mineurs sont positifs. Après la formule de Binet-Cauchy et l'identité de Sylvester, il démontre l'inégalité $\det A \leqslant \Delta_{[\![1, p]\!]}(A)\, \Delta_{[\![p+1, n]\!]}(A)$ , d'où la factorisation LDU. Il classe ensuite les couples de drapeaux par des permutations, étudie les écritures réduites des permutations en transpositions adjacentes et les relations de tresses, établit la décomposition de Bruhat de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et décrit l'adhérence de chaque cellule à l'aide de l'ordre de Bruhat, pour paramétrer enfin les matrices unitriangulaires inférieures totalement positives par des produits de matrices élémentaires $y_k(a)$ .

Le sujet, partie par partie

Introduction, notations et Partie 0 — Questions de cours et résultats classiques p. 1–3

Espaces vectoriels et dimension · Déterminants · Matrices par blocs · Matrices remarquables — formule de Grassmann, déterminant par blocs, déterminant de Vandermonde, factorisation LDU, mineurs principaux

Partie 1 — Matrices totalement positives p. 3–5

Déterminants · Matrices positives et stochastiques · Connexité · Densité · Dérivabilité — matrice totalement positive, mineurs d'une matrice, formule de Binet-Cauchy, forme multilinéaire alternée, matrice de coefficients $e^{a_i b_j}$ , adhérence

Partie 2 — Factorisation LDU d'une matrice TP inversible p. 5–6

Déterminants · Matrices par blocs · Matrices positives et stochastiques — identité de Sylvester, factorisation LDU, mineurs principaux, inégalité $\det A \leqslant \Delta_{[\![1, p]\!]}(A)\, \Delta_{[\![p+1, n]\!]}(A)$ , matrices unitriangulaires, récurrence sur la taille

Partie 3 — Position relative de deux drapeaux p. 6–8

Actions de groupes · Espaces vectoriels et dimension · Groupe symétrique · Matrices remarquables — drapeau, matrice de permutation, action transitive, orbites de $\mathrm{GL}(E)$ , position relative de deux drapeaux, espace quotient

Partie 4 — Écritures réduites des permutations p. 8–10

Groupe symétrique · Groupes — inversions d'une permutation, transpositions adjacentes, écriture réduite, relations de tresses, longueur d'une permutation, théorème de Matsumoto

Partie 5 — Décomposition de Bruhat p. 10–12

Groupes de matrices · Actions de groupes · Topologie des espaces de matrices · Groupe symétrique · Densité — décomposition de Bruhat, matrices triangulaires supérieures, stabilisateur d'un drapeau, ordre de Bruhat, adhérence d'une cellule, double classe

Partie 6 — Matrices unitriangulaires totalement positives p. 13–14

Matrices positives et stochastiques · Groupe symétrique · Groupes de matrices · Inversion locale et fonctions implicites · Topologie des espaces de matrices — matrices unitriangulaires totalement positives, matrices élémentaires $y_k(a)$ , relations de tresses, paramétrage, sous-variété