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AnnalesEnseignement

Agrégation interne 2015 — Épreuve 2

La fonction Gamma : formules de Gauss, Stirling, Weierstrass et approche probabiliste · 7 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet établit les propriétés classiques de la fonction Γ\Gamma : constante d'Euler γ\gamma, formule de Gauss Γ(s)=lim⁡n! ns/(s(s+1)⋯(s+n))\Gamma(s) = \lim n!\, n^s/(s(s+1)\cdots(s+n)), développement de ln⁡Γ\ln \Gamma et de Γ′/Γ\Gamma'/\Gamma en série, puis la formule de Stirling Γ(s+1)∼2πs sse−s\Gamma(s+1) \sim \sqrt{2\pi s}\, s^s e^{-s}. Il développe la théorie des produits infinis (convergence uniforme de produits de fonctions), en déduit le produit eulérien de sin⁡t/t\sin t / t, la formule des compléments Γ(s)Γ(1−s)=π/sin⁡(πs)\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \pi/\sin(\pi s) et le produit de Weierstrass de 1/Γ1/\Gamma. Enfin, à l'aide de variables de loi Gamma et de variables exponentielles indépendantes, il montre que ln⁡Xt\ln X_t a même loi qu'une série de variables et en déduit la formule de duplication 22s−1Γ(s)Γ(s+1/2)=Γ(2s)Γ(1/2)2^{2s-1} \Gamma(s)\Gamma(s+1/2) = \Gamma(2s)\Gamma(1/2).

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Constante d'Euler et fonction Γ\Gamma p. 2

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Comparaison série-intégrale · Suites numériques · Convergence dominée · Séries numériques — constante d'Euler, fonction Gamma, intégrale de Gauss, formule de Gauss, intégrations par parties successives, dérivée logarithmique de Gamma

Partie II — Formule de Stirling pour Γ\Gamma p. 3

Formule de Stirling · Fonctions Gamma et Bêta · Dérivabilité · Suites numériques — formule de Stirling, équivalent de Γ(s+1)\Gamma(s+1), dérivée tendant vers 0, encadrement de la dérivée, suite de pas borné

Partie III — Produits infinis p. 3–5

Produits infinis · Fonctions Gamma et Bêta · Convergence uniforme et normale · Polynômes de Tchebychev · Racines et relations coefficients-racines · Convergence dominée — produit infini, convergence uniforme d'un produit de fonctions, produit eulérien du sinus, formule des compléments, produit de Weierstrass, formule de duplication du sinus

Partie IV — Approche probabiliste : lois Gamma et formule de duplication p. 5–7

Variables à densité · Loi exponentielle · Fonctions Gamma et Bêta · Espérance, variance, moments · Fonctions convexes · Intégrales multiples · Lois des grands nombres et théorèmes limites — loi Gamma, loi exponentielle, changement de variables dans une densité, jacobien, variables indépendantes, convergence en moyenne quadratique, log-convexité de Gamma, formule de duplication de Legendre

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètreThéorème de convergence dominéeIntégrale de RiemannSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝSuites, séries et parties compactes de ℂLa demi-droite achevée et les sommes positivesDérivabilitéConvergence uniforme et intégrale des fonctions complexesAnneaux de polynômesLa loi normaleLois de Poisson et loi exponentielleEspérance, variance et inégalitésThéorèmes de Tonelli et de FubiniTribu produit et mesure produitLoi faible des grands nombres et théorème de WeierstrassLoi forte des grands nombresThéorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne
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