AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2015 — Session normale, 2 juin 2015

Section d'une pyramide et volumes, suite de points et rotation complexe ou matrices et congruences, loi normale et probabilités conditionnelles, fonction logarithme et intégrale · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la section d'une pyramide à base carrée par le plan (EAU), le projeté orthogonal du sommet sur ce plan et la comparaison des volumes des deux solides obtenus. Au choix, les non-spécialistes construisent des points $A_n$ dont l'affixe vérifie $z_{n+1} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z_n$ et qui restent sur un cercle de rayon 5, et les spécialistes inversent une matrice $3 \times 3$ pour trouver des paraboles à coefficients entiers, avec des conditions de congruence. Le troisième exercice règle l'écart-type d'une loi normale et traite des probabilités conditionnelles sur trois fournisseurs. Le quatrième exercice étudie $f(x) = \left(1 - \frac{1}{x}\right)(\ln x - 2) + 2$ à l'aide d'une fonction auxiliaire et calcule une intégrale interprétée comme une aire.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Section d'une pyramide par un plan, projeté orthogonal et volumes p. 1–2

Géométrie vectorielle dans l'espace — pyramide à base carrée, section plane, droites parallèles, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, volume

Exercice 2 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite de points, algorithme et rotation en nombres complexes p. 2–3

Nombres complexes · Suites numériques · Informatique et algorithmique · Fonctions trigonométriques — suite de points, module, $z_{n+1} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} z_n$ , argument, cercle, construction géométrique

Exercice 2 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrice inversible et paraboles à coefficients entiers par congruences p. 3–4

Calcul matriciel · Congruences et Z/nZ · Second degré — matrice inverse, $M^3 = M^2 + 8M + 6I$ , système linéaire, parabole par trois points, congruences, points alignés

Exercice 3 — Loi normale, réglage d'un écart-type et probabilités conditionnelles p. 4–5

Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — loi normale, détermination de $\sigma$ , arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée

Exercice 4 — Fonction logarithme, fonction auxiliaire, position relative et intégrale p. 5–6

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Continuité — fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires, $f'(x) = \frac{u(x)}{x^2}$ , position relative de deux courbes, primitive de $\frac{\ln x}{x}$ , aire