AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2017 — Session normale, 21 novembre 2017

Fonction logarithme, valeurs intermédiaires et aire, orthogonalité dans un cube, loi normale et prise de décision, complexes et cercle circonscrit, suite récurrente d'une population ou graphe probabiliste à trois états · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 2 - 3\ln x}{x}$ à l'aide de la fonction auxiliaire $\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x$ , localise ses zéros $\alpha$ et $\beta$ et utilise une primitive pour décider si un palet de chocolat en forme de goutte respecte une contrainte de rentabilité. Le deuxième exercice montre dans un cube que $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$ et calcule le volume d'une pyramide, et le troisième estime la moyenne et l'écart-type d'une série, discute une modélisation par la loi normale de paramètres $\mu = 140$ et $\sigma = 19$ , puis décide d'une anomalie au risque de 5 % puis de 1 %. Le quatrième exercice montre que $OAB$ est rectangle isocèle et qu'une solution de $z^2 - \sqrt{6}z + 2 = 0$ est l'affixe d'un point de son cercle circonscrit. Au choix, les non-spécialistes modélisent une population par une suite géométrique puis par $u_{n+1} = -\frac{1{,}1}{605}u_n^2 + 1{,}1u_n$ , et les spécialistes un jeu en ligne à trois statuts par une matrice de transition, un état stable et un algorithme.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Palet de chocolat : fonction logarithme, fonction auxiliaire, valeurs intermédiaires et aire p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Continuité — fonction auxiliaire $\varphi(x) = x^2 - 1 + 3\ln x$ , $f'(x) = \frac{\varphi(x)}{x^2}$ , limites aux bornes, théorème des valeurs intermédiaires, primitive, aire entre deux courbes symétriques, volume

Exercice 2 — Cube : droite orthogonale à un plan, équation de plan et volume d'une pyramide p. 2

Géométrie vectorielle dans l'espace — produit scalaire, droite orthogonale à un plan, équation cartésienne $x + y + z - 1 = 0$ , intersection d'une droite et d'un plan, volume d'une pyramide

Exercice 3 — Série statistique, loi normale et prise de décision p. 3

Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests — moyenne et écart-type d'une série, histogramme, loi normale $\mathcal{N}(140, 19^2)$ , intervalle de fluctuation, risque de 5 % et de 1 %

Exercice 4 — Triangle rectangle isocèle, équation du second degré complexe et cercle circonscrit p. 4

Nombres complexes · Second degré — forme exponentielle, triangle rectangle isocèle, $z^2 - \sqrt{6}z + 2 = 0$ , cercle circonscrit, module

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Population animale : suite géométrique puis suite récurrente $u_{n+1} = g(u_n)$ p. 4–5

Suites numériques · Dérivabilité · Second degré · Informatique et algorithmique — suite géométrique, $g(x) = -\frac{1{,}1}{605}x^2 + 1{,}1x$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, limite vérifiant $g(\ell) = \ell$ , algorithme de seuil

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Jeu en ligne : graphe probabiliste à trois états, matrice de transition et état stable p. 5–6

Chaînes de Markov · Calcul matriciel · Graphes · Informatique et algorithmique — graphe probabiliste, matrice de transition $3 \times 3$ , $U_n = U_0 T^n$ , état stable, algorithme matriciel