AnnalesBaccalauréat

Bac Asie Terminale 2017 — Session normale, 22 juin 2017

Fonction exponentielle et concentration d'un médicament, suite et conjecture, vrai-faux (probabilités, complexes, espace), intégrales et méthode de Monte-Carlo, loi exponentielle et loi normale ou matrices et code de Hamming · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie la concentration $C(t) = \frac{d}{a}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{a}{80}t}\right)$ d'un médicament perfusé : sens de variation et plateau, étude de la fonction $f(x) = \frac{105}{x}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{3}{40}x}\right)$ , unicité d'une solution de $f(x) = 5{,}9$ par le théorème des valeurs intermédiaires, puis détermination de la clairance et du débit. Le deuxième exercice fait conjecturer à l'aide d'un tableur puis démontrer l'expression de $v_n = (n+1)u_n$ pour la suite $u_{n+1} = \frac{n+1}{2n+4}u_n$ , et le troisième est un vrai-faux portant sur la formule de Bayes, des complexes sous forme exponentielle, l'orthogonalité d'une droite et d'un plan et la coplanarité de deux droites. Le quatrième exercice calcule $I = \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x$ puis estime $J = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ par la méthode de Monte-Carlo, avec un algorithme et un intervalle de confiance. Au choix, les non-spécialistes étudient des lampes à led : leur durée de vie par une loi exponentielle, la proportion annoncée par le fabricant par un intervalle de fluctuation, et le nombre de lampes encore en état de marche au bout d'un an par une loi normale, et les spécialistes calculent $A^n = PD^nP^{-1}$ pour une transmission de bits puis étudient le code correcteur de Hamming (7, 4).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction exponentielle et concentration d'un médicament : variations, plateau et théorème des valeurs intermédiaires p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité — $C(t) = \frac{d}{a}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{a}{80}t}\right)$ , plateau, $f(x) = \frac{105}{x}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{3}{40}x}\right)$ , théorème des valeurs intermédiaires, clairance, perfusion

Exercice 2 — Suite définie par récurrence, conjecture au tableur et suite géométrique auxiliaire p. 2–3

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{n+1}{2n+4}u_n$ , $v_n = (n+1)u_n$ , conjecture, raisonnement par récurrence, feuille de calcul, limite d'une suite

Exercice 3 — Vrai-faux : formule de Bayes, complexes sous forme exponentielle, orthogonalité d'une droite et d'un plan, coplanarité de deux droites p. 3

Probabilités totales et formule de Bayes · Nombres complexes · Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, dé truqué, forme exponentielle, représentation paramétrique, orthogonalité d'une droite et d'un plan, coplanarité de deux droites

Exercice 4 — Intégrales $\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x}$ et $\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$ : calcul exact et méthode de Monte-Carlo p. 3–5

Intégrale sur un segment · Statistique : estimation et tests · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme · Variables à densité — $I = \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x$ , $J = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ , méthode de Monte-Carlo, loi uniforme sur $[0, 1]$ , intervalle de confiance, taille d'échantillon

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Loi exponentielle, intervalle de fluctuation et loi normale p. 5–6

Loi exponentielle · Statistique : estimation et tests · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrale sur un segment · Conditionnement et indépendance — $P(T > a) = \mathrm{e}^{-\lambda a}$ , durée de vie sans vieillissement, intervalle de fluctuation asymptotique, loi normale $\mathcal{N}(440 ; 7{,}3^2)$ , lampes à led

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Puissances de matrice $A = PDP^{-1}$ et code correcteur de Hamming p. 6–8

Calcul matriciel · Congruences et Z/nZ · Espaces probabilisés · Fonctions exponentielle et logarithme — $X_{n+1} = AX_n$ , $A^n = PD^nP^{-1}$ , matrice inverse, calcul formel, code de Hamming (7, 4), bit de contrôle, reste de la division euclidienne par 2